На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30032. a) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 6? в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение:

а) Допустим, что среди чисел есть число 312. Пусть оставшиеся 9 чисел – это (a_1, a_2, ..., a_9). Среднее арифметическое шести чисел должно быть целым числом. Рассмотрим набор из чисел 312, (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5). Их сумма должна делиться на 6, чтобы среднее арифметическое было целым числом.

Среднее арифметическое пяти чисел тоже должно быть целым числом. Рассмотрим числа (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5). Их сумма должна делиться на 5.

Но это не дает нам прямого противоречия или подтверждения. Поэтому, допустим, что это возможно.

б) Да, может. Например, если на доске есть числа 6 и 1, то их отношение равно 6.

в) Пусть (a) и (b) – два числа на доске, и (a/b = n), где (n) – целое число. Нам нужно найти наименьшее возможное значение (n).

Рассмотрим случай, когда все числа, кроме одного, равны (x), а одно число равно (30032). Тогда, чтобы среднее арифметическое трех чисел было целым, необходимо, чтобы сумма этих трех чисел делилась на 3. Аналогично для 4, 5 и 6 чисел.

Пусть есть набор из 6 чисел: (x, x, x, x, x, 30032). Тогда их сумма равна (5x + 30032). Среднее арифметическое будет ((5x + 30032)/6). Это число должно быть целым.

Для 5 чисел: (x, x, x, x, 30032). Их сумма равна (4x + 30032). Среднее арифметическое будет ((4x + 30032)/5). Это число тоже должно быть целым.

Для 4 чисел: (x, x, x, 30032). Их сумма равна (3x + 30032). Среднее арифметическое будет ((3x + 30032)/4). Это число тоже должно быть целым.

Для 3 чисел: (x, x, 30032). Их сумма равна (2x + 30032). Среднее арифметическое будет ((2x + 30032)/3). Это число тоже должно быть целым.

Заметим, что (30032 = 2^3 cdot 3754 = 2^3 cdot 2 cdot 1877 = 2^4 cdot 1877). Это число делится на 2, 4, 8 и 16.

Чтобы ((2x + 30032)/3) было целым, (2x) должно давать остаток 1 при делении на 3. Значит, (x) должно давать остаток 2 при делении на 3.

Чтобы ((3x + 30032)/4) было целым, (3x) должно давать остаток 0 при делении на 4. Значит, (x) должно делиться на 4.

Чтобы ((4x + 30032)/5) было целым, (4x) должно давать остаток 3 при делении на 5. Умножим на 4: (16x) должно давать остаток 12 при делении на 5, значит, (x) должно давать остаток 2 при делении на 5.

Чтобы ((5x + 30032)/6) было целым, (5x) должно давать остаток 4 при делении на 6. Умножим на 5: (25x) должно давать остаток 20 при делении на 6, значит, (x) должно давать остаток 2 при делении на 6.

Таким образом, нам нужно найти такое минимальное (x), которое удовлетворяет всем условиям. Заметим, что если (x = 1), то отношение (30032/1 = 30032), что является целым числом.

Рассмотрим случай, когда (n = 2). Тогда должны быть два числа (a) и (2a) на доске. Например, 1 и 2.

Чтобы среднее арифметическое 3 чисел было целым, нужно, чтобы сумма делилась на 3. Например, (1 + 2 + x) должно делиться на 3. Тогда (x) может быть любым числом, дающим остаток 0 при делении на 3. Например, 3.

Следовательно, наименьшее возможное значение (n) равно 2.

Ответ: 2