На доске написано число 202120212021. Эдик стер у этого числа несколько цифр и получил число, которое делится на 18. Какое наибольшее число могло получиться у Эдика?

Решение:

Чтобы число делилось на 18, оно должно делиться и на 2, и на 9 одновременно.

1. Делимость на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.
2. Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Исходное число: 202120212021. Сумма цифр: 2+0+2+1+2+0+2+1+2+0+2+1 = 15.

Нам нужно удалить несколько цифр так, чтобы получить наибольшее возможное число, которое делится на 18.

Чтобы получить наибольшее число, нужно сохранить как можно больше старших цифр.

• Шаг 1: Обеспечить делимость на 2. Последняя цифра должна быть чётной. Исходное число заканчивается на 1. Самая близкая чётная цифра, которую можно оставить, — это 2.
• Шаг 2: Обеспечить делимость на 9. Сумма цифр должна делиться на 9.

Пробуем удалить цифры, чтобы получить наибольшее число, оканчивающееся на 2 и чтобы сумма цифр делилась на 9.

Оставляем 20212021202(1). Удаляем последнюю 1. Остаётся 20212021202.

Сумма цифр: 2+0+2+1+2+0+2+1+2+0+2 = 14. Не делится на 9.

Чтобы сумма делилась на 9, её нужно увеличить до 18 (ближайшее кратное 9). Нам нужно добавить 4 к сумме (18 - 14 = 4). Это значит, что нам нужно оставить цифры, сумма которых будет больше на 4.

Начнем с конца, чтобы сохранить наибольшее число:

Число: 202120212021. Последняя цифра — 1. Чтобы число делилось на 2, последняя цифра должна быть четной. Удалим последнюю 1. Получим 20212021202. Сумма цифр = 14. Для делимости на 9 нужно, чтобы сумма делилась на 9. Ближайшие кратные 9: 9, 18, 27... Текущая сумма 14. Чтобы получить 18, нужно добавить 4. Если мы оставим число 20212021202, сумма = 14. Чтобы получить 18, нужно убрать цифры с суммой 14-18 = -4 (невозможно) или добавить 4. Но мы удаляем цифры.

Чтобы сумма стала кратной 9, нужно убрать цифры, сумма которых даст остаток 5 при делении на 9 (15 - 5 = 10, не кратно 9) или остаток 6 (15 - 6 = 9). Значит, сумма удаляемых цифр должна давать остаток 6 при делении на 9.

Возможные суммы удаляемых цифр: 6, 15, 24, ...

Мы хотим получить наибольшее число. Для этого нужно удалить как можно меньше цифр, и удалять их с конца, если это возможно.

Число: 202120212021. Сумма = 15. Нам нужно, чтобы сумма стала кратной 9. Ближайшее кратное 9 — это 9. Значит, сумма удаляемых цифр должна быть 15 - 9 = 6.

Чтобы число делилось на 2, последняя цифра должна быть четной. В исходном числе есть 2 и 0. Самые большие числа будут, если мы сохраним последние 2 или 0.

Вариант 1: Последняя цифра 2.

Удалим последнюю 1 (сумма удаления = 1). Число: 20212021202. Сумма = 14. Не делится на 9. Сумма удаляемых цифр должна быть 6. Значит, нужно удалить цифры с суммой 6.

Удалим последнюю 1 (сумма 1). Остается 20212021202. Сумма = 14. Для делимости на 9, сумма должна быть 18. Значит, мы должны были удалить цифры с суммой 15-18 = -3 (невозможно) или 15-9 = 6. Если сумма удаляемых цифр = 6, то оставшаяся сумма = 9.

Сумма цифр исходного числа 202120212021 = 15.

Для делимости на 9, сумма цифр должна быть кратна 9. Ближайшее меньшее кратное 9 — это 9. Следовательно, сумма удаляемых цифр должна быть 15 - 9 = 6.

Для делимости на 2, последняя цифра должна быть чётной (0 или 2).

Чтобы получить наибольшее число, нужно удалить наименьшее количество цифр, начиная с конца.

1. Если удалим последнюю 1 (сумма удаления = 1), число: 20212021202. Сумма = 14. Не делится на 9.

2. Если удалим последние 21 (сумма удаления = 3), число: 2021202120. Сумма = 12. Не делится на 9.

3. Если удалим последние 021 (сумма удаления = 3), число: 202120212. Сумма = 12. Не делится на 9.

4. Если удалим последние 2021 (сумма удаления = 5), число: 20212021. Сумма = 10. Не делится на 9.

5. Если удалим последние 12021 (сумма удаления = 6). Сумма удаляемых цифр = 6. Это то, что нам нужно! Удаляем 12021 с конца. Остается: 2021202.

Проверим: 2021202. Последняя цифра — 2 (чётная). Сумма цифр: 2+0+2+1+2+0+2 = 9. 9 делится на 9. Число делится на 18.

Альтернативный вариант:

Попробуем сохранить последнюю 0.

Число: 20212021202(1). Удаляем 1 (сумма удаления = 1). Остается 20212021202. Последняя цифра 2. Сумма = 14. Нужна сумма 9 или 18. Чтобы получить 9, надо убрать цифры с суммой 14-9 = 5. Чтобы получить 18, надо убрать цифры с суммой 14-18 = -4 (невозможно).

Удаляем цифры с суммой 5. Чтобы число было наибольшим, удаляем с конца. Последние цифры: 2. Удалим 2 (сумма 2). Остается 2021202120. Сумма 12. Не делится на 9.

Удалим 02 (сумма 2). Остается 202120212. Сумма 12. Не делится на 9.

Удалим 202 (сумма 4). Остается 20212021. Сумма 10. Не делится на 9.

Удалим 1202 (сумма 5). Это то, что нужно! Удаляем 1202 с конца. Остается: 202120.

Проверим: 202120. Последняя цифра 0 (чётная). Сумма цифр: 2+0+2+1+2+0 = 7. Не делится на 9.

Ошибка в рассуждении. Сумма удаляемых цифр должна быть 6, чтобы оставшаяся сумма стала 9.

Исходное число: 202120212021. Сумма = 15. Нужно, чтобы оставшаяся сумма была кратна 9. Ближайшее кратное 9, которое меньше 15, это 9. Значит, сумма удаляемых цифр должна быть 15 - 9 = 6.

Чтобы получить наибольшее число, удаляем цифры с наименьшим весом, то есть с конца.

1. Удаляем 1. Сумма = 1. Число: 20212021202. Сумма = 14. Не делится на 9.

2. Удаляем 21. Сумма = 3. Число: 2021202120. Сумма = 12. Не делится на 9.

3. Удаляем 021. Сумма = 3. Число: 202120212. Сумма = 12. Не делится на 9.

4. Удаляем 2021. Сумма = 5. Число: 20212021. Сумма = 10. Не делится на 9.

5. Удаляем 12021. Сумма = 6. Это то, что нам нужно! Удаляем 12021 с конца. Остается: 2021202.

Проверяем 2021202:

- Последняя цифра 2 (чётная) -> делится на 2.

- Сумма цифр 2+0+2+1+2+0+2 = 9. 9 делится на 9 -> делится на 9.

Так как число делится на 2 и на 9, оно делится на 18.

Это наибольшее число, потому что мы удалили наименьшее количество цифр с конца, чтобы получить нужную сумму.

Ответ: 2021202