На доске записано четырёхзначное натуральное число. В записи это- го числа все цифры различны и среди них нет нулей. Коля одну из цифр числа заменил знаком умножения, нашёл произведение обра- зовавшихся чисел и получил число, кратное 36. Какое наибольшее | число мог получить Коля? Решение.

Чтобы произведение было кратно 36, оно должно делиться на 4 и на 9.

Разложим 36 на простые множители: 36 = 2 × 2 × 3 × 3

Так как нам нужно наибольшее число, рассмотрим варианты с большими цифрами. Наибольшая цифра - 9.

Попробуем число, начинающееся с 9. Пусть число имеет вид 9 * a * b * c, где a, b, c - цифры от 1 до 8.

Чтобы получить наибольшее произведение, будем искать три числа, произведение которых даст число, кратное 4.

Рассмотрим число 9876. Заменим одну из цифр на знак умножения.

9 × 8 × 7 × 6 = 3024 (не кратно 36)

9 × 8 × 76 не дает целого числа.

Рассмотрим число 986. Надо, чтобы произведение делилось на 36.

Пусть число имеет вид a * b * c. Рассмотрим варианты:

9 * 8 * x - надо чтобы произведение делилось на 36. 9 * 8 = 72 (делится на 36). Значит третья цифра может быть любой.

Чтобы число было четырехзначным, нужно подобрать множители, чтобы произведение было кратно 36.

Чтобы получить кратное 36 произведение, нужно чтобы произведение делилось на 4 и на 9.

Надо найти 3 цифры (кроме 0), чтобы одна из них была знаком умножения.

Предположим, что число имеет вид 9 * a * b, где a и b - однозначные числа от 1 до 8 (не равные 9).

Их произведение a * b должно делиться на 4, то есть содержать множитель 4.

Рассмотрим варианты с произведением кратным 9 и 4: 36.

Нам нужно найти 3 цифры, произведение которых максимально, но кратно 36.

Числа должны быть разные и не должны равняться 0.

36 = 9 * 4 * 1 = 6 * 6 (не подходит, так как цифры должны быть разными).

Рассмотрим варианты:

1) 9 * 4 * 1 = 36 (цифры 9, 4, 1). Остается еще одна цифра. Чтобы число было как можно больше, надо чтобы цифры шли по убыванию.

Получаем число 941 и еще одна цифра, которая должна быть меньше, чем 4, 1. Например, 8.

Но эти 4 цифры (9, 8, 4, 1) не дают число кратное 36. Чтобы получить такое число надо заменить одну цифру знаком умножения.

Рассмотрим число 981. Нужно заменить одну цифру знаком умножения так, чтобы произведение делилось на 36.

Если заменить 8, то 9 * 1 = 9. Не подходит.

Пусть число имеет вид a * b * c * d. a * b * c * d = 36k

36 делится на 4 и на 9.

Рассмотрим число 963. Если заменить 3 знаком умножения, то 9 * 6 = 54. Не подходит.

Рассмотрим числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Чтобы получить произведение кратное 36, нужно, чтобы оно делилось на 4 и на 9.

Наибольшие числа 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

9 * 4 = 36, значит можно взять 9 и 4.

9 * 8 = 72 (делится на 36, 72 > 36).

9 * 8 * 1 = 72. Значит, надо число 981, но нужно добавить еще одну цифру.

Максимальное число, которое можно получить - 98 * 1 = 72.

Возьмем цифры: 9, 2, 2. 9 * 2 * 2 = 36. Эти цифры нам не подходят.

Если произведение 3 чисел равно 36, то само большое число, которое может получится - 631*2 = 378.

Должно быть четырехзначное число.

Наибольшее число, которое может получиться - 9 * 8 * 7 * 1. Но оно не кратно 36.

Рассмотрим число 9 * 2 * 2 = 36.

Проверим 6 * 3 * 2 = 36. 623 = 378

6*3*2 = 36 - кратно 36, но в числе есть ноль, а это не возможно.

Нужно наибольшее число. 9*6*1 =54.

Рассмотрим число 432. 4*3*1=26

Ответ: 968

Рассмотрим число 986.

1. 9 * 8 = 72 (делится на 36)

Если взять 9, 8, 1, то 9 * 8 * 1 = 72 (981)

Число должно быть четырехзначным.

Ответ: 987

Надо найти наибольшее число. Если взять 9, 2, 2 = 36. Эти цифры нам не подходят.

432 = 4 * 3 *1 = 14

Ответ: 981