На доске записано четырёхзначное натуральное число. Все цифры в записи этого числа различны и не равны нулю. Оля одну из цифр числа заменила знаком умножения, нашла произведение образовавшихся чисел и получила число, кратное 6. Какое наибольшее число могла получить Оля?

Решение:

Пусть четырёхзначное число состоит из цифр \(a, b, c, d\), где все цифры различны и не равны нулю. Оля заменила одну из цифр знаком умножения, например, вместо \(abcd\) получила \(a \cdot bcd\) или \(ab \cdot cd\) и так далее. Полученное число кратно 6, то есть делится и на 2, и на 3.

Чтобы получить наибольшее возможное число, нужно использовать наибольшие доступные цифры (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) и расположить их так, чтобы произведение было максимально. Также важна кратность 6.

Рассмотрим возможные варианты расстановки знака умножения:

1. Произведение двух двузначных чисел: \( ab \cdot cd \). Чтобы максимизировать произведение, нужно взять наибольшие цифры. Переберём варианты:
• \(98 \cdot 76 = 7448\) (кратно 6)
• \(97 \cdot 86 = 8342\) (не кратно 6)
• \(96 \cdot 87 = 8352\) (кратно 6)
• \(95 \cdot 87 = 8265\) (не кратно 6)
• \(94 \cdot 87 = 8178\) (кратно 6)
• \(93 \cdot 87 = 8091\) (не кратно 6)
• \(98 \cdot 75 = 7350\) (кратно 6)

Наибольшее найденное значение: 8352.

2. Произведение трёхзначного и однозначного чисел: \( abc \cdot d \).
• \(987 \cdot 6 = 5922\) (кратно 6)
• \(986 \cdot 7 = 6902\) (не кратно 6)
• \(987 \cdot 5 = 4935\) (не кратно 6)
• \(984 \cdot 7 = 6888\) (кратно 6)

Наибольшее найденное значение: 6888.

3. Произведение однозначного и трёхзначного чисел: \( a \cdot bcd \).
• \(6 \cdot 987 = 5922\) (кратно 6)
• \(7 \cdot 984 = 6888\) (кратно 6)

Наибольшее найденное значение: 6888.

Сравним полученные наибольшие значения: 8352, 6888.

Наибольшее число, кратное 6, получилось при произведении двух двузначных чисел: 8352.

Проверим число 8352: цифры 8, 3, 5, 2 различны и не равны нулю. 8352 делится на 2 (последняя цифра 2) и на 3 (сумма цифр 8+3+5+2 = 18, 18 делится на 3). Следовательно, 8352 кратно 6.

Ответ: 8352.