На доске записаны все натуральные числа от 1 до 20. За один ход разрешается взять два числа а и b, записанные на доске, и заменить их на число а + b - 1. Через 19 ходов на доске осталось одно число, какое?

Заметим, что после каждого хода сумма всех чисел на доске уменьшается на 1. Изначально сумма всех чисел на доске равна сумме натуральных чисел от 1 до 20. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$, где $$n$$ - количество членов, $$a_1$$ - первый член, $$a_n$$ - последний член.

В нашем случае $$n = 20$$, $$a_1 = 1$$, $$a_{20} = 20$$. Тогда $$S_{20} = \frac{20(1 + 20)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210$$.

Изначальная сумма чисел на доске равна 210. После каждого из 19 ходов сумма уменьшается на 1. Значит, после 19 ходов сумма уменьшится на 19.

Таким образом, конечное число, которое останется на доске после 19 ходов, будет равно: $$210 - 19 = 191$$.

Ответ: 191