На двух концентрических сферах радиусами R₁ = 0,020 м и R2 = 0,1 м равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями б₁ = 2,9 нКл/м² и о₂ = 3,5 нКл/м². Определите модуль вектора смещения в точке А, находящейся на расстоянии 8,9 м от общего центра сфер. Результат выразите в системе СИ.

Дано:

• Радиус внутренней сферы: \( R_1 = 0.020 \text{ м} \)
• Радиус внешней сферы: \( R_2 = 0.1 \text{ м} \)
• Поверхностная плотность заряда на внутренней сфере: \( \sigma_1 = 2.9 \text{ нКл/м}^2 = 2.9 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2 \)
• Поверхностная плотность заряда на внешней сфере: \( \sigma_2 = 3.5 \text{ нКл/м}^2 = 3.5 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2 \)
• Точка А находится на расстоянии \( r = 8.9 \text{ м} \) от центра.

Найти:

• Модуль вектора смещения \( D \) в точке А.

Решение:

Вектор электрического смещения \( \mathbf{D} \) связан с вектором напряженности электрического поля \( \mathbf{E} \) соотношением \( \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} \), где \( \varepsilon_0 \) — диэлектрическая проницаемость вакуума (\( \varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \)).

Задача описывает концентрические сферы с равномерно распределенными зарядами. Точка А находится на расстоянии \( r = 8.9 \text{ м} \) от центра. Это расстояние значительно больше радиусов обеих сфер (\( r \gg R_2 > R_1 \)). В таком случае, согласно теореме Гаусса, электрическое поле, создаваемое сферически симметричными распределениями заряда, ведет себя как поле точечного заряда, расположенного в центре. Суммарный заряд сфер будет определяться поверхностными плотностями и площадями сфер.

1. Рассчитаем полный заряд на каждой сфере:
• Заряд на внутренней сфере: \( Q_1 = \sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2 \)
• Заряд на внешней сфере: \( Q_2 = \sigma_2 \cdot 4\pi R_2^2 \)
2. Рассчитаем общий заряд:
• \( Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = \sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2 + \sigma_2 \cdot 4\pi R_2^2 \)
3. Рассчитаем напряженность электрического поля в точке А:
• По закону Кулона для сферически симметричного поля: \( E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_{\text{total}}}{r^2} \)
4. Рассчитаем модуль вектора смещения:
• \( D = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_{\text{total}}}{r^2} = \frac{Q_{\text{total}}}{4\pi r^2} \)

Теперь подставим значения:

• \( Q_1 = (2.9 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2) \cdot 4\pi (0.020 \text{ м})^2 \approx 1.457 \times 10^{-11} \text{ Кл} \)
• \( Q_2 = (3.5 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2) \cdot 4\pi (0.1 \text{ м})^2 \approx 4.398 \times 10^{-10} \text{ Кл} \)
• \( Q_{\text{total}} = 1.457 \times 10^{-11} \text{ Кл} + 4.398 \times 10^{-10} \text{ Кл} \approx 4.544 \times 10^{-10} \text{ Кл} \)
• \( D = \frac{4.544 \times 10^{-10} \text{ Кл}}{4\pi (8.9 \text{ м})^2} \approx \frac{4.544 \times 10^{-10}}{4\pi \cdot 79.21} \approx \frac{4.544 \times 10^{-10}}{995.3} \approx 4.565 \times 10^{-13} \text{ Кл/м}^2 \)

Поскольку \( \sigma_1 \) и \( \sigma_2 \) даны с точностью до одного знака после запятой, и \( R_1, R_2 \) с тремя знаками, точным будет результат с двумя знаками после запятой.

\( D \approx 4.57 \times 10^{-13} \text{ Кл/м}^2 \)

Модуль вектора смещения \( D \) в точке А равен \( \frac{Q_{\text{total}}}{4\pi r^2} \).

\( Q_1 = 2.9 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2 \times 4\pi \times (0.020 \text{ м})^2 = 1.45745 \times 10^{-11} \text{ Кл} \)

\( Q_2 = 3.5 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2 \times 4\pi \times (0.1 \text{ м})^2 = 4.39823 \times 10^{-10} \text{ Кл} \)

\( Q_{\text{total}} = 1.45745 \times 10^{-11} + 4.39823 \times 10^{-10} = 4.543975 \times 10^{-10} \text{ Кл} \)

\( D = \frac{4.543975 \times 10^{-10} \text{ Кл}}{4\pi \times (8.9 \text{ м})^2} = \frac{4.543975 \times 10^{-10}}{995.305} \text{ Кл/м}^2 \approx 4.5653 \times 10^{-13} \text{ Кл/м}^2 \)

Округлим до двух знаков после запятой: \( 4.57 \times 10^{-13} \text{ Кл/м}^2 \)

Ответ: 4.57 x 10⁻¹³ Кл/м²