На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине ее можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?

Дано:

Вместе машины выполняют работу за \(10\) минут.

Первая машина работает на \(15\) минут быстрее второй.

Найти: время работы каждой машины отдельно.

Пусть вторая машина выполняет работу за \(x\) минут, тогда первая — за \(x-15\) минут.

Производительность первой машины: \(\frac{1}{x-15}\), второй: \(\frac{1}{x}\). Вместе их производительность равна \(\frac{1}{10}\).

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x-15}+\frac{1}{x}=\frac{1}{10}\).

ОДЗ: \(x>15\).

Умножим уравнение на \(10x(x-15)\):

\(10x+10(x-15)=x(x-15)\);

\(10x+10x-150=x^2-15x\);

\(x^2-35x+150=0\).

Найдём корни:

\(D=(-35)^2-4\cdot1\cdot150=1225-600=625\);

\(x=\frac{35\pm25}{2}\).

\(x_1=30\), \(x_2=5\).

Корень \(x_2=5\) не подходит, так как \(x>15\).

Вторая машина выполняет работу за \(30\) минут.

Первая машина выполняет работу за \(30-15=15\) минут.

Проверка: \(\frac{1}{15}+\frac{1}{30}=\frac{2}{30}+\frac{1}{30}=\frac{1}{10}\).

Ответ: первая машина — за 15 минут, вторая машина — за 30 минут.