На фабрике есть три линии по производству деталей. Первая линия может производить 30 деталей за 2 часа, вторая - 15 деталей за 3 часа, третья - 10 деталей за 1 час. Фабрика должна произвести 1500 деталей, чтобы успеть к сроку. Нужно распределить производство деталей между линиями так, чтобы они закончили работу одновременно. Сколько деталей нужно отправить на первую линию?

Решение:

1. Определим производительность каждой линии в час:
   • Первая линия: \( 30 \text{ дет.} / 2 \text{ ч} = 15 \text{ дет./ч} \)
   • Вторая линия: \( 15 \text{ дет.} / 3 \text{ ч} = 5 \text{ дет./ч} \)
   • Третья линия: \( 10 \text{ дет.} / 1 \text{ ч} = 10 \text{ дет./ч} \)
2. Определим общую производительность всех трех линий в час: \( 15 + 5 + 10 = 30 \text{ дет./ч} \).
3. Пусть \( t \) — время работы всех линий до завершения производства 1500 деталей.
4. Пусть \( x_1, x_2, x_3 \) — количество деталей, произведенных первой, второй и третьей линиями соответственно.
5. Мы знаем, что \( x_1 + x_2 + x_3 = 1500 \).
6. Время работы каждой линии одинаково, поэтому:
   • \( x_1 = 15t \)
   • \( x_2 = 5t \)
   • \( x_3 = 10t \)
7. Подставим эти выражения в первое уравнение: \( 15t + 5t + 10t = 1500 \).
8. Решим полученное уравнение: \( 30t = 1500 \) \( t = \frac{1500}{30} = 50 \) часов.
9. Найдем, сколько деталей нужно отправить на первую линию: \( x_1 = 15t = 15 \text{ дет./ч} \times 50 \text{ ч} = 750 \) деталей.

Ответ: 750 деталей.