На факультете иностранных языков есть три кружка для студентов: кружок испанского языка, французского языка и немецкого языка. В кружке испанского языка занимается 30 студентов, в кружке французского — 25 студентов, немецкого — 20 студентов. 10 студентов занимаются и испанским, и французским, 5 — и испанским, и немецким, 3 студента занимаются и французским, и немецким языками. Известно, что 2 студента изучают все три языка одновременно. Сколько всего студентов посещают эти кружки, если каждый студент посещает хотя бы один языковой кружок?

Для решения этой задачи будем использовать круги Эйлера. Нам нужно посчитать, сколько всего студентов посещают хотя бы один из трех кружков, при условии, что каждый студент посещает хотя бы один кружок.

Пусть:

• И - испанский язык
• Ф - французский язык
• Н - немецкий язык

Дано:

• |И| = 30
• |Ф| = 25
• |Н| = 20
• |И ∩ Ф| = 10
• |И ∩ Н| = 5
• |Ф ∩ Н| = 3
• |И ∩ Ф ∩ Н| = 2

Для начала найдем количество студентов, посещающих только два кружка:

• Только испанский и французский: |И ∩ Ф| - |И ∩ Ф ∩ Н| = 10 - 2 = 8
• Только испанский и немецкий: |И ∩ Н| - |И ∩ Ф ∩ Н| = 5 - 2 = 3
• Только французский и немецкий: |Ф ∩ Н| - |И ∩ Ф ∩ Н| = 3 - 2 = 1

Теперь найдем количество студентов, посещающих только один кружок:

• Только испанский: |И| - (8 + 3 + 2) = 30 - 13 = 17
• Только французский: |Ф| - (8 + 1 + 2) = 25 - 11 = 14
• Только немецкий: |Н| - (3 + 1 + 2) = 20 - 6 = 14

Общее количество студентов, посещающих кружки:

$$17 + 14 + 14 + 8 + 3 + 1 + 2 = 69$$

Ответ: 69