На графике изображена зависимость модуля силы взаимодействия точечного тела массой 40 кг и некоторой планеты от расстояния г между ними. Радиус планеты 4260 км. Определите величину ускорения свободного падения на высоте 5 м от поверхности планеты. Ответ запишите целым числом в СИ.

Решение:

Задача описывает закон всемирного тяготения, согласно которому сила взаимодействия между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \).

Из графика мы видим, что при расстоянии \( r = 4260 \text{ км} \) (радиус планеты) сила взаимодействия равна \( F ≈ 120 \text{ Н} \).

Нам нужно найти ускорение свободного падения на высоте 5 м от поверхности планеты. Расстояние от центра планеты до этой точки будет \( R + h \), где \( R = 4260 \text{ км} \) и \( h = 5 \text{ м} \).

Ускорение свободного падения \( g \) можно найти по формуле \( g = G \frac{M}{r^2} \), где \( M \) - масса планеты, а \( r \) - расстояние от центра планеты.

Сила взаимодействия между телом массой \( m \) и планетой на расстоянии \( r \) от ее центра равна \( F = m ∙ g \).

Из графика при \( r = 4260 \text{ км} = 4260000 \text{ м} \) сила \( F ≈ 120 \text{ Н} \).

Учитывая массу тела \( m = 40 \text{ кг} \), мы можем найти ускорение свободного падения на поверхности планеты:

\( g_{поверхность} = \frac{F}{m} = \frac{120 \text{ Н}}{40 \text{ кг}} = 3 \text{ м/с}^2 \).

Теперь нам нужно найти ускорение на высоте \( h = 5 \text{ м} \) от поверхности. Расстояние от центра планеты будет \( r = R + h = 4260000 \text{ м} + 5 \text{ м} = 4260005 \text{ м} \).

Так как \( h \) очень мало по сравнению с \( R \), ускорение свободного падения практически не изменится.

Мы можем использовать отношение ускорений:

\( \frac{g_{R+h}}{g_R} = \frac{G \frac{M}{(R+h)^2}}{G \frac{M}{R^2}} = \frac{R^2}{(R+h)^2} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \left( 1 - \frac{h}{R+h} \right)^2 \approx \left( 1 - \frac{h}{R} \right)^2 \approx 1 - 2 \frac{h}{R} \).

\( g_{R+h} ≈ g_R ∙ (1 - 2 \frac{h}{R}) \).

\( g_{R+h} ≈ 3 \text{ м/с}^2 ∙ (1 - 2 \frac{5}{4260000}) \).

\( \frac{5}{4260000} \) очень мало, поэтому \( g_{R+h} ≈ 3 \text{ м/с}^2 \).

Для большей точности, найдем \( \frac{R^2}{(R+h)^2} \).

\( R = 4260 \text{ км} = 4.26 \times 10^6 \text{ м} \).

\( R+h = 4260005 \text{ м} \).

\( \frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{(4.26 \times 10^6)^2}{(4260005)^2} ≈ \frac{1.81476 \times 10^{13}}{1.81476036 \times 10^{13}} ≈ 0.99999977 \).

\( g_{R+h} ≈ 3 \text{ м/с}^2 ∙ 0.99999977 ≈ 2.99999931 \text{ м/с}^2 \).

Округляя до целого числа, получаем 3.

Ответ: 3