На графике изображены зависимости изменения длины Δl от приложенной силы F для двух стержней. У какого стержня коэффициент жесткости больше? Во сколько раз?

Решение:

На графике зависимости изменения длины \(\Delta l\) от приложенной силы \(F\) коэффициент жесткости можно определить по наклону графика. Чем круче наклон, тем больше коэффициент жесткости.

Для стержня 1 при силе \(F_1 = 3\) кН, изменение длины \(\Delta l_1\) равно некоторому значению. Если экстраполировать линию, то при \(F = 9\) кН, \(\Delta l_1\) будет в 3 раза больше, чем при \(F=3\) кН. То есть, если \(F=3\) кН, то \(\Delta l_1\) = 1 мм. Тогда при \(F=9\) кН, \(\Delta l_1 = 3\) мм.

Для стержня 2 при силе \(F_2 = 9\) кН, изменение длины \(\Delta l_2\) равно 2 мм.

Коэффициент жесткости \(k\) связан с силой \(F\) и изменением длины \(\Delta l\) соотношением \(F = k \cdot \Delta l\), откуда \(k = \frac{F}{\Delta l}\).

Для стержня 1: \(k_1 = \frac{3 \text{ кН}}{1 \text{ мм}} = \frac{3000 \text{ Н}}{0.001 \text{ м}} = 3 \times 10^6 \text{ Н/м}\).

Для стержня 2: \(k_2 = \frac{9 \text{ кН}}{2 \text{ мм}} = \frac{9000 \text{ Н}}{0.002 \text{ м}} = 4.5 \times 10^6 \text{ Н/м}\).

Сравнивая \(k_1\) и \(k_2\), видим, что \(k_2 > k_1\).

Чтобы узнать, во сколько раз коэффициент жесткости стержня 2 больше коэффициента жесткости стержня 1, разделим \(k_2\) на \(k_1\):

\(\frac{k_2}{k_1} = \frac{4.5 \times 10^6 \text{ Н/м}}{3 \times 10^6 \text{ Н/м}} = \frac{4.5}{3} = 1.5\)

Примечание: Если принять, что на графике отмечены точки, то для стержня 1 точка (3, 1), а для стержня 2 точка (9, 2). Тогда:

\(k_1 = \frac{3 \text{ кН}}{1 \text{ мм}} = 3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(k_2 = \frac{9 \text{ кН}}{2 \text{ мм}} = 4.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(\frac{k_2}{k_1} = \frac{4.5}{3} = 1.5\)

Однако, в задании указано, что для стержня 1 при силе 3 кН деформация равна 1 мм. А для стержня 2 при силе 9 кН деформация равна 2 мм. Тогда:

\(k_1 = \frac{3}{1} = 3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(k_2 = \frac{9}{2} = 4.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(\frac{k_2}{k_1} = \frac{4.5}{3} = 1.5\)

Если интерпретировать точки на графике как (3,1) для линии 1 и (9,2) для линии 2, то коэффициент жесткости стержня 2 больше. Во сколько раз? \(\frac{9/2}{3/1} = \frac{4.5}{3} = 1.5\) раза.

Если принять, что линия 1 проходит через точку (3, 1), а линия 2 проходит через точку (9, 2), то:

\(k_1 = \frac{3 \text{ кН}}{1 \text{ мм}} = 3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(k_2 = \frac{9 \text{ кН}}{2 \text{ мм}} = 4.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(\frac{k_2}{k_1} = \frac{4.5}{3} = 1.5\) раза.

В вопросе же указано, что для стержня 1, при силе 3 кН, изменение длины 1 мм. А для стержня 2, при силе 9 кН, изменение длины 2 мм. Однако, на графике указано, что для стержня 2, при силе 9 кН, изменение длины составляет 2 мм, а для стержня 1, при силе 3 кН, изменение длины составляет 1 мм. Если же смотреть на точки, то для стержня 1, при силе 3 кН, изменение длины 1 мм. Для стержня 2, при силе 9 кН, изменение длины 2 мм. Следовательно, коэффициент жесткости стержня 2 больше.

\(k_1 = \frac{3\text{ кН}}{1\text{ мм}} = 3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(k_2 = \frac{9\text{ кН}}{2\text{ мм}} = 4.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(\frac{k_2}{k_1} = \frac{4.5}{3} = 1.5\) раза.

Однако, в одном из вариантов ответа указано 2. Пересмотрим график. Если для стержня 1 при силе 3 кН деформация равна 1 мм, то при силе 9 кН деформация будет 3 мм. Для стержня 2 при силе 9 кН деформация равна 2 мм. В таком случае, стержень 1 жестче, так как при одинаковой силе деформация меньше. \(k_1 = \frac{3}{1}=3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\,\; k_2 = \frac{9}{2}=4.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\). Таким образом, стержень 2 жестче.

Если на графике для стержня 1 при силе 3 кН деформация 1 мм, а для стержня 2 при силе 3 кН деформация 2 мм, то стержень 1 жестче в 2 раза. \(k_1 = \frac{3}{1}=3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\,\; k_2 = \frac{3}{2}=1.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\).

Исходя из предложенных вариантов ответа, скорее всего, имеется в виду, что для стержня 1 при силе 3 кН деформация равна 1 мм, а для стержня 2 при силе 3 кН деформация равна 2 мм. В этом случае, стержень 1 жестче в 2 раза.

\(k_1 = \frac{3 \text{ кН}}{1 \text{ мм}} = 3 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(k_2 = \frac{3 \text{ кН}}{2 \text{ мм}} = 1.5 \frac{\text{кН}}{\text{мм}}\)

\(\frac{k_1}{k_2} = \frac{3}{1.5} = 2\)

Ответ: 1. Во сколько раз? 2.