На изготовление 108 деталей первый рабочий тратит на 7 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 169 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Пусть $$x$$ — количество деталей, которое делает первый рабочий за час. Тогда второй рабочий делает $$x-5$$ деталей в час. Первый рабочий тратит $$\frac{108}{x}$$ часов на изготовление 108 деталей, а второй рабочий тратит $$\frac{169}{x-5}$$ часов на изготовление 169 деталей. Из условия известно, что первый рабочий тратит на 7 часов меньше, чем второй, следовательно, получаем уравнение: $$\frac{169}{x-5} - \frac{108}{x} = 7$$ Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{169x - 108(x-5)}{x(x-5)} = 7$$ $$\frac{169x - 108x + 540}{x^2 - 5x} = 7$$ $$\frac{61x + 540}{x^2 - 5x} = 7$$ Умножаем обе части уравнения на $$x^2 - 5x$$: $$61x + 540 = 7(x^2 - 5x)$$ $$61x + 540 = 7x^2 - 35x$$ Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$7x^2 - 35x - 61x - 540 = 0$$ $$7x^2 - 96x - 540 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $$D = (-96)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-540) = 9216 + 15120 = 24336$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{96 + \sqrt{24336}}{2 \cdot 7} = \frac{96 + 156}{14} = \frac{252}{14} = 18$$ $$x_2 = \frac{96 - \sqrt{24336}}{2 \cdot 7} = \frac{96 - 156}{14} = \frac{-60}{14} = -\frac{30}{7}$$ Так как количество деталей не может быть отрицательным, то $$x = 18$$. Следовательно, первый рабочий делает 18 деталей в час. Ответ: 18