На изготовление 105 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 132 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Решение:

Обозначим:

• Пусть x — количество деталей, которое второй рабочий делает за час.
• Тогда x + 4 — количество деталей, которое первый рабочий делает за час.
• Время, которое требуется второму рабочему на изготовление 132 деталей: \[ \frac{132}{x} \text{ часов} \]
• Время, которое требуется первому рабочему на изготовление 105 деталей: \[ \frac{105}{x+4} \text{ часов} \]

По условию, первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй. Составим уравнение:

• \[ \frac{105}{x+4} = \frac{132}{x} - 5 \]

Решим уравнение:

• Приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{105x}{(x+4)x} = \frac{132(x+4)}{x(x+4)} - \frac{5x(x+4)}{x(x+4)} \]
• Умножим обе части на oldsymbol{x(x+4)} (при условии, что oldsymbol{x eq 0} и oldsymbol{x eq -4}):

• \[ 105x = 132(x+4) - 5x(x+4) \]
• \[ 105x = 132x + 528 - 5x^2 - 20x \]
• \[ 105x = 112x + 528 - 5x^2 \]
• Перенесем все в одну сторону:

• \[ 5x^2 + 105x - 112x - 528 = 0 \]
• \[ 5x^2 - 7x - 528 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 imes 5 imes (-528) \]
• \[ D = 49 + 10560 = 10609 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{10609} = 103 \]

Найдем корни уравнения:

• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 103}{2 imes 5} = \frac{110}{10} = 11 \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 103}{2 imes 5} = \frac{-96}{10} = -9.6 \]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то oldsymbol{x = 11}. Это количество деталей, которое второй рабочий делает за час.

Найдем, сколько деталей делает первый рабочий за час:

• \[ x + 4 = 11 + 4 = 15 \]

Ответ: 15 деталей