На изображении дан прямоугольный треугольник ABC, в который вписана окружность с центром O, касающаяся сторон AC, BC и AB в точках C, D соответственно. Известно, что AD = 21 и BD = 4. Необходимо найти радиус вписанной окружности.

Question

Вопрос:

На изображении дан прямоугольный треугольник ABC, в который вписана окружность с центром O, касающаяся сторон AC, BC и AB в точках C, D соответственно. Известно, что AD = 21 и BD = 4. Необходимо найти радиус вписанной окружности.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Краткое пояснение: Пусть r — радиус вписанной окружности. Поскольку AC и BC касаются окружности, то OC — биссектриса угла C, и OC перпендикулярна AC и BC. Следовательно, ACO и BCO — квадраты со стороной r.

Обозначим радиус окружности как r. Тогда AC = r + 21, BC = r + 4.
По теореме Пифагора, AB^2 = AC^2 + BC^2, где AB = AD + DB = 21 + 4 = 25.
Подставляем известные значения: \(25^2 = (r + 21)^2 + (r + 4)^2\)
Раскрываем скобки: \(625 = r^2 + 42r + 441 + r^2 + 8r + 16\)
Упрощаем уравнение: \(2r^2 + 50r - 168 = 0\)
Делим на 2: \(r^2 + 25r - 84 = 0\)
Решаем квадратное уравнение: \(D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 625 + 336 = 961\)
Находим корни: \(r_1 = \frac{-25 + \sqrt{961}}{2} = \frac{-25 + 31}{2} = 3\), \(r_2 = \frac{-25 - 31}{2} = -28\).
Так как радиус не может быть отрицательным, то r = 3.

Ответ: 3