На изображении виден фрагмент задания: «Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций»; подпункты: 1) $y=1-x^2$ и $y=-x(x+3)$; 2) $y=-x^2+4x-3$ и $y=(x+2)(3-x)$; 3) $y=(x+1)^2$, прямой $y=1-x$ и осью $Ox$; 4) $y=4-x^2$, прямой $y=x+2$ и осью $Ox$; 5) $y=4x-x^2$, осью $Ox$ и прямой $x=4$; 6) $y=3x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=-3$, $x=0$, $x=1$.

Question

На изображении виден фрагмент задания: «Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций»; подпункты: 1) $y=1-x^2$ и $y=-x(x+3)$; 2) $y=-x^2+4x-3$ и $y=(x+2)(3-x)$; 3) $y=(x+1)^2$, прямой $y=1-x$ и осью $Ox$; 4) $y=4-x^2$, прямой $y=x+2$ и осью $Ox$; 5) $y=4x-x^2$, осью $Ox$ и прямой $x=4$; 6) $y=3x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=-3$, $x=0$, $x=1$.

$Фото задания: На изображении виден фрагмент задания: «Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций»; подпункты: 1) $y=1-x^2$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Вычислим площади по формуле $S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$.

Точки пересечения: $1-x^2=-x(x+3)$, откуда $x=-\frac12$. Также графики пересекаются при $x=0$. На отрезке $[-\frac12;0]$ площадь равна $S_1=\int_{-1/2}^{0}(1-x^2+x^2+3x)\,dx=\int_{-1/2}^{0}(1+3x)\,dx=\frac18$.
$-x^2+4x-3=(x+2)(3-x)$ даёт $x=\frac54$. Второе пересечение: $x=0$. Поэтому $S_2=\int_0^{5/4}\bigl((-x^2+4x-3)-( -x^2+x+6)\bigr)\,dx=\int_0^{5/4}(3x-9)\,dx$. Однако получаем отрицательную разность, поэтому берём модуль: $S_2=\int_0^{5/4}(9-3x)\,dx=\frac{135}{32}$.
Пересечение параболы и прямой: $(x+1)^2=1-x$, откуда $x=-1$ и $x=-2$. С осью $Ox$ парабола касается в точке $(-1;0)$, а прямая пересекает ось в точке $(1;0)$. Искомая площадь: $S_3=\int_{-2}^{-1}(1-x-(x+1)^2)\,dx+\int_{-1}^{1}(1-x)\,dx=\frac16+2=\frac{13}{6}$.
Пересечение $4-x^2=x+2$: $x=-2$ и $x=1$. Площадь ограниченной фигуры: $S_4=\int_{-2}^{1}(4-x^2-(x+2))\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx=\frac92$.
Парабола $y=4x-x^2$ пересекает ось $Ox$ при $x=0$ и $x=4$. На отрезке $[0;4]$: $S_5=\int_0^4(4x-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$.
На отрезках, заданных прямыми, площадь под графиком $y=3x^2$ равна $S_6=\int_{-3}^{0}3x^2\,dx+\int_0^1 3x^2\,dx=27+1=28$.

Ответ: 1) $\frac18$; 2) $\frac{135}{32}$; 3) $\frac{13}{6}$; 4) $\frac92$; 5) $\frac{32}{3}$; 6) $28$.