9. На каком расстоянии от центра Земли, выраженном в земных радиусах, силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли. (R3 — радиус Земли).

Для решения этой задачи рассмотрим точку, в которой силы притяжения от Земли и Луны уравновешивают друг друга. Пусть (M_E) - масса Земли, (M_L) - масса Луны, (r) - расстояние от центра Земли до этой точки, и (R) - расстояние между центрами Земли и Луны.

По условию задачи, (M_L = \frac{M_E}{81}), а (R = 60 R_3), где (R_3) - радиус Земли.

Сила притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

где (G) - гравитационная постоянная.

Пусть (m) - масса космического корабля. Тогда сила притяжения корабля к Земле:

$$F_E = G \frac{m M_E}{r^2}$$

Сила притяжения корабля к Луне:

$$F_L = G \frac{m M_L}{(R - r)^2} = G \frac{m (M_E/81)}{(R - r)^2}$$

В точке равновесия (F_E = F_L), следовательно:

$$G \frac{m M_E}{r^2} = G \frac{m (M_E/81)}{(R - r)^2}$$

Сокращаем (G) и (m M_E):

$$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{81(R - r)^2}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{9(R - r)}$$

Отсюда:

$$9(R - r) = r$$ $$9R - 9r = r$$ $$9R = 10r$$ $$r = \frac{9}{10} R$$

Подставляем (R = 60 R_3):

$$r = \frac{9}{10} (60 R_3) = 54 R_3$$

Ответ: 54 радиуса Земли.