На карточках записаны все возможные четырехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, без повторения. Карточки перевернули и перемешали, а затем открыли одну из них. Какова вероятность того, что на этой карточке окажется четное число?

Задание 6

Суть задания: Определить вероятность того, что случайно выбранное четырехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения, будет четным.

Решение:

Шаг 1: Найдем общее количество возможных четырехзначных чисел.

Числа состоят из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения. Это задача на перестановку 4 элементов.

Общее количество таких чисел:

$$ N_{total} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $$

Всего существует 24 различных четырехзначных числа, составленных из этих цифр.

Шаг 2: Найдем количество четных четырехзначных чисел.

Четное число — это число, которое заканчивается на четную цифру. В нашем наборе цифр (1, 2, 3, 4) четными являются цифры 2 и 4.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Число заканчивается на 2.

Если последняя цифра — 2, то на первые три места мы можем поставить оставшиеся цифры (1, 3, 4) в любом порядке. Количество таких перестановок:

$$ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $$

Получаем 6 чисел, оканчивающихся на 2 (например, 1342, 1432, 3142, 3412, 4132, 4312).

Случай 2: Число заканчивается на 4.

Если последняя цифра — 4, то на первые три места мы можем поставить оставшиеся цифры (1, 2, 3) в любом порядке.

Количество таких перестановок:

$$ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $$

Получаем 6 чисел, оканчивающихся на 4 (например, 1234, 1324, 2134, 2314, 3124, 3214).

Общее количество четных чисел:

$$ N_{even} = 6 + 6 = 12 $$

Шаг 3: Найдем вероятность.

Вероятность того, что число окажется четным, равна отношению количества четных чисел к общему количеству чисел.

$$ P(\text{четное число}) = \frac{N_{even}}{N_{total}} = \frac{12}{24} $$

Сокращаем дробь:

$$ P = \frac{1}{2} $$

Ответ: Вероятность того, что на карточке окажется четное число, равна \(\frac{1}{2}\) (или 0.5).