На касательной к окружности с центром в точке О отмечена точка М. Угол между отрезком ОМ и радиусом окружности, проведенным к точке касания, равен 30°. Найдите расстояние от точки касания до точки М, если отрезок ОМ равен 14 см.

Решение:

Задача описывает прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — это отрезок ОМ, равный 14 см.
• Один из катетов — это радиус окружности, проведенный к точке касания (перпендикулярный касательной).
• Другой катет — это искомое расстояние от точки касания до точки М.
• Угол между гипотенузой (ОМ) и прилежащим катетом (радиусом) равен 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.

В данном случае, расстояние от точки касания до точки М является катетом, противолежащим углу 30°.

Пусть A — точка касания.

В прямоугольном треугольнике OAM:

\( \angle OAM = 90^{\circ} \) (радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной).

\( \angle AOM = 30^{\circ} \).

\( OM = 14 \) см (гипотенуза).

Искомое расстояние — катет AM.

По свойству прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы:

\[ AM = \frac{1}{2} OM \]\[ AM = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \]\[ AM = 7 \text{ см} \]

Чертеж:

Ответ: 7 см.