На катете АС треугольника АВС с прямым углом С и углом А, равным 15°, отмечена точка D так, что ∠CDB = 30°. Известно, что BC = 8 см. Найдите AD (в см).

В треугольнике ABC, угол A = 15°, угол C = 90°. Следовательно, угол B = 90° - 15° = 75°.
В треугольнике BCD, угол C = 90°, угол CDB = 30°. Следовательно, угол CBD = 180° - 90° - 30° = 60°.
В треугольнике BCD, BC = 8 см. Используя тангенс угла CDB: tan(30°) = BC / CD. CD = BC / tan(30°) = 8 / (1/√3) = 8√3 см.
В треугольнике ABC, AC = BC / tan(15°). Используя формулу тангенса половинного угла или разложения, tan(15°) = tan(45°-30°) = (tan45°-tan30°)/(1+tan45°tan30°) = (1-1/√3)/(1+1/√3) = (√3-1)/(√3+1) = (√3-1)² / ((√3+1)(√3-1)) = (3 - 2√3 + 1) / (3-1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3.
AC = 8 / (2 - √3) = 8 * (2 + √3) / ((2 - √3)(2 + √3)) = 8 * (2 + √3) / (4 - 3) = 16 + 8√3 см.
AD = AC - CD = (16 + 8√3) - 8√3 = 16 см.