На каждом из рисунков найди все пары подобных треугольников и докажи их подобие: а) рисунок с точками A, B, C, O, E, M; б) рисунок с прямоугольным треугольником ABC и высотой CK к гипотенузе AB.

а) По рисунку \(O\in AB\), \(E\in AC\), \(M\in BC\), проведены отрезки \(OE\) и \(AM\). Отмечено, что \(OE\parallel BC\), а также равенство углов \(\angle AOE=\angle ABM\).

Из параллельности \(OE\parallel BC\):

\[\angle AOE=\angle ABC,\qquad \angle AEO=\angle ACB.\]

Поэтому \(\triangle AOE\sim\triangle ABC\) по двум углам.

Кроме того, поскольку \(O\in AB\), \(M\in BC\), угол \(ABM\) совпадает с углом \(ABC\). Угол \(BAM\) совпадает с углом \(BAC\), так как \(M\in BC\). Следовательно, \(\triangle ABM\sim\triangle ABC\) по двум углам.

Пары: \(\triangle AOE\sim\triangle ABC\); \(\triangle ABM\sim\triangle ABC\).

б) В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, а \(CK\perp AB\), поэтому \(\angle AKC=\angle CKB=90^\circ\).

Треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle ABC\) имеют общий угол \(A\), а \(\angle AKC=\angle ACB=90^\circ\). Значит,

\[\triangle ACK\sim\triangle ABC.\]

Треугольники \(\triangle BCK\) и \(\triangle ABC\) имеют общий угол \(B\), а \(\angle BKC=\angle ACB=90^\circ\). Значит,

\[\triangle BCK\sim\triangle ABC.\]

Следовательно, подобны также треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\), так как оба подобны \(\triangle ABC\).

Пары: \(\triangle ACK\sim\triangle ABC\); \(\triangle BCK\sim\triangle ABC\); \(\triangle ACK\sim\triangle BCK\).