5. На каждой клетке шахматной доски 7х7 сидят 49 дрессированных лягушек. По команде каждая лягушка прыгнула в соседнюю клетку (соседняя по горизонтали или вертикали, но не по диагона- ли). Могло ли так оказаться, что на всех клетках шахматной доски снова сидело по лягушке?

Рассмотрим шахматную доску 7х7. Раскрасим ее в шахматном порядке. Тогда количество черных клеток будет либо на 1 больше, либо на 1 меньше, чем количество белых клеток, либо равно.

В доске 7х7 всего 49 клеток. Тогда количество клеток одного цвета либо 24, либо 25.

Когда лягушка прыгает в соседнюю клетку, она меняет цвет клетки, на которой сидит. Пусть на белых клетках сидели лягушки, тогда их 24. После прыжка они окажутся на черных клетках. На черных клетках окажутся 25 лягушек. И 24 окажутся на черных клетках. Следовательно, все лягушки не смогут снова оказаться на своих клетках.

Ответ: Нет, не могло.