4. На каждой стороне равностороннего треугольника $$MLP$$ отложены равные отрезки $$ML_1 = LP_1 = PM_1$$, ($$L_1$$ лежит на стороне $$ML$$, $$P_1$$ — на $$LP$$, $$M_1$$ — на $$PM$$). Точки $$M_1$$, $$L_1$$ и $$P_1$$ соединены отрезками. Определите вид треугольника $$M_1L_1P_1$$.

4. На каждой стороне равностороннего треугольника $$MLP$$ отложены равные отрезки $$ML_1 = LP_1 = PM_1$$, ($$L_1$$ лежит на стороне $$ML$$, $$P_1$$ — на $$LP$$, $$M_1$$ — на $$PM$$). Точки $$M_1$$, $$L_1$$ и $$P_1$$ соединены отрезками. Определите вид треугольника $$M_1L_1P_1$$.

Решение:

Пусть сторона равностороннего треугольника $$MLP$$ равна $$a$$, а отрезки $$ML_1 = LP_1 = PM_1 = x$$. Тогда $$LL_1 = a - x$$, $$PP_1 = a - x$$, $$MM_1 = a - x$$. Рассмотрим треугольники $$M_1PL_1$$, $$L_1ML_1$$, $$P_1LM_1$$. Они равны по двум сторонам и углу между ними ($$PL_1=ML_1=PM_1 = x$$, $$LP_1=PM_1=ML_1= a-x$$, а углы между этими сторонами равны $$60^\circ$$). Из равенства треугольников следует равенство сторон $$M_1L_1$$, $$L_1P_1$$, $$P_1M_1$$. Следовательно, треугольник $$M_1L_1P_1$$ - равносторонний.

Ответ: треугольник $$M_1L_1P_1$$ - равносторонний.