На клетчатой бумаге с длиной стороны клетки в 1 см изображён треугольник АВС. Какова длина его высоты АН, проведённой к стороне ВС?

Решение:

Для нахождения высоты АН, проведённой к стороне ВС, сначала определим координаты точек А, В и С. Примем точку А за начало координат (0, 0).

Координаты точек:

• A = (0, 0)
• B = (2, 1)
• C = (3, 3)

Теперь найдём длину стороны ВС, используя формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

Длина ВС:

\[ BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \text{ см} \]

Теперь найдём площадь треугольника АВС. Можно использовать формулу через координаты вершин: \( S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))| \).

Площадь АВС:

\[ S = \frac{1}{2} |(0(1 - 3) + 2(3 - 0) + 3(0 - 1))| = \frac{1}{2} |(0 + 6 - 3)| = \frac{1}{2} |3| = 1.5 \text{ кв. см} \]

Также площадь треугольника можно вычислить по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \). В нашем случае основание — это ВС, а высота — АН.

\( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \)

Выразим АН:

\( AH = \frac{2S}{BC} \)

Подставим найденные значения S и BC:

\[ AH = \frac{2 \cdot 1.5}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \text{ см} \]

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[ AH = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \text{ см} \]

Приблизительное значение \( \sqrt{5} \approx 2.236 \):

\[ AH \approx \frac{3 \cdot 2.236}{5} = \frac{6.708}{5} \approx 1.3416 \text{ см} \]

Ответ: \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \) см.