На клетчатой бумаге с длиной стороны клетки в 1 см изображён треугольник АВС. Какова длина его высоты АН, проведённой к стороне ВС?

Решение:

Для решения задачи нам нужно найти длину высоты АН, проведённой к стороне ВС. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).

Рассмотрим треугольник АВС на клетчатой бумаге. Определим координаты вершин треугольника, считая, что точка А имеет координаты (0,0):

• Точка А: (0, 0)
• Точка B: (2, 1)
• Точка C: (2, 4)

Сторона ВС является вертикальным отрезком, так как обе точки B и C имеют одинаковую абсциссу x = 2. Длина стороны ВС равна разности ординат точек C и B: \( BC = |y_C - y_B| = |4 - 1| = 3 \) см.

Высота АН, проведённая к стороне ВС, будет горизонтальным отрезком, перпендикулярным ВС. Поскольку ВС расположена на прямой \( x = 2 \), то высота АН будет проходить от точки А (0, 0) до некоторой точки H на прямой \( x = 2 \). Однако, для того чтобы АН была высотой, она должна быть перпендикулярна ВС. Поскольку ВС вертикальна, то АН должна быть горизонтальной. Точка H будет иметь координаты (2, 0).

Длина высоты АН равна расстоянию от точки А (0,0) до прямой \( x = 2 \) по горизонтали. Это расстояние равно абсциссе точки H, которая находится на той же вертикали, что и B и C. Таким образом, точка H будет иметь координаты (2, 0) если мы будем проводить высоту к основанию, расположенному на оси X. Но в данном случае, мы проводим высоту к ВС. Высота АН будет перпендикулярна ВС. Поскольку ВС вертикальна, то высота АН будет горизонтальной. Длина этой высоты будет равна разности абсцисс точек А и H. Координаты точки H, где высота пересекает ВС, будут (2, 0), но это не соответствует рисунку. Давайте пересмотрим.

Высота АН, проведённая к стороне ВС, является перпендикуляром, опущенным из вершины А на прямую, содержащую сторону ВС. Сторона ВС является вертикальным отрезком, так как точки B и C имеют одинаковую абсциссу \( x=2 \). Линия, содержащая ВС, это прямая \( x = 2 \). Высота АН должна быть перпендикулярна этой прямой. Следовательно, высота АН будет горизонтальной линией. Точка H, где высота падает на прямую \( x = 2 \), будет иметь ординату, соответствующую точке А, то есть \( y=0 \). Таким образом, точка H будет иметь координаты (2, 0). Однако, точка H должна лежать на прямой ВС. Это означает, что точка H должна иметь координату x=2. Высота АН будет горизонтальным отрезком, исходящим из А(0,0) и падающим на прямую \( x=2 \). Точка пересечения H будет иметь координаты (2,0). Расстояние AH = \( \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2^2} = 2 \) см.

Но точка H должна лежать на отрезке ВС. Высота, проведённая из А(0,0) к ВС (на прямой x=2), будет перпендикулярна ВС. Это означает, что высота будет горизонтальной. Точка H будет иметь координаты (2, y_A). Таким образом, H = (2,0). Длина AH = \( \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2 \).

Давайте проверим, лежит ли точка H(2,0) на отрезке BC. Координаты B (2,1) и C (2,4). Точка H(2,0) не лежит на отрезке BC. Это значит, что основание высоты падает вне отрезка BC. Тем не менее, длина высоты — это расстояние от вершины до прямой, содержащей основание.

Альтернативный подход: Использование формулы площади треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить разными способами. Один из способов — через координаты вершин:

\( S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| \)

\( S = \frac{1}{2} |0(1 - 4) + 2(4 - 0) + 2(0 - 1)| \)

\( S = \frac{1}{2} |0 + 2(4) + 2(-1)| \)

\( S = \frac{1}{2} |8 - 2| \)

\( S = \frac{1}{2} |6| = 3 \) квадратных сантиметра.

Теперь используем другую формулу площади: \( S = \frac{1}{2} × основание × высота \). В нашем случае основание — это сторона ВС, а высота — АН.

Длина стороны ВС = 3 см (как было найдено ранее, \( |y_C - y_B| = |4 - 1| = 3 \) ).

\( 3 = \frac{1}{2} × 3 × AH \)

Умножим обе стороны на 2: \( 6 = 3 × AH \)

Разделим на 3: \( AH = \frac{6}{3} = 2 \) см.

Таким образом, длина высоты АН, проведённой к стороне ВС, равна 2 см.

Ответ: 2 см.