На клетчатой бумаге с единичной клеткой нарисован треугольник. Найди радиус окружности, вписанной в него.

Давайте решим эту задачу. На рисунке изображен равнобедренный треугольник. Нам нужно найти радиус вписанной окружности. 1. Определим размеры треугольника: * Основание треугольника равно 10 клеткам. * Высота треугольника равна 7 клеткам. 2. Найдем боковую сторону треугольника: * Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Половина основания равна 5 клеткам. * По теореме Пифагора, боковая сторона равна \(\sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}\) клеткам. 3. Найдем полупериметр треугольника: * Полупериметр (p) равен половине суммы всех сторон: \(p = \frac{10 + \sqrt{74} + \sqrt{74}}{2} = 5 + \sqrt{74}\) 4. Найдем площадь треугольника: * Площадь (S) равна половине произведения основания на высоту: \(S = \frac{1}{2} * 10 * 7 = 35\) 5. Найдем радиус вписанной окружности: * Радиус (r) вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру: \(r = \frac{S}{p} = \frac{35}{5 + \sqrt{74}}\) 6. Преобразуем полученное выражение для радиуса: Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(5 - \sqrt{74}\): \(r = \frac{35(5 - \sqrt{74})}{(5 + \sqrt{74})(5 - \sqrt{74})} = \frac{35(5 - \sqrt{74})}{25 - 74} = \frac{35(5 - \sqrt{74})}{-49} = \frac{5(\sqrt{74} - 5)}{7}\) Однако, в представленных вариантах ответа нет такого результата. Возможно допущена ошибка в условии или неточно прочитаны данные с картинки. Предположим, что высота треугольника не 7 клеток, а 5. В таком случае: 1. Определим размеры треугольника: * Основание треугольника равно 10 клеткам. * Высота треугольника равна 5 клеткам. 2. Найдем боковую сторону треугольника: * Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Половина основания равна 5 клеткам. * По теореме Пифагора, боковая сторона равна \(\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) клеткам. 3. Найдем полупериметр треугольника: * Полупериметр (p) равен половине суммы всех сторон: \(p = \frac{10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2} = 5 + 5\sqrt{2}\) 4. Найдем площадь треугольника: * Площадь (S) равна половине произведения основания на высоту: \(S = \frac{1}{2} * 10 * 5 = 25\) 5. Найдем радиус вписанной окружности: * Радиус (r) вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру: \(r = \frac{S}{p} = \frac{25}{5 + 5\sqrt{2}} = \frac{5}{1 + \sqrt{2}}\) 6. Преобразуем полученное выражение для радиуса: Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(1 - \sqrt{2}\): \(r = \frac{5(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{5(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} = \frac{5(1 - \sqrt{2})}{-1} = 5(\sqrt{2} - 1)\) Этот результат тоже не совпадает с предложенными вариантами ответа. Если высота все же равна 7 клеткам, и в предложенных вариантах есть ошибка, то правильный ответ будет: \(\frac{5(\sqrt{74} - 5)}{7}\) Если высота равна 5 клеткам, то правильный ответ будет: \(5(\sqrt{2} - 1)\)