На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён угол $$KDL$$. Найдите синус этого угла.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DLK$$. Катет $$DK$$ лежит на горизонтальной линии и равен 4 клеткам, т.е. 4. Чтобы найти длину катета, который лежит на вертикальной линии, нужно провести перпендикуляр из точки $$L$$ на линию $$DK$$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра и прямой $$DK$$ буквой $$P$$. Рассмотрим треугольник $$DPL$$. Катет $$DP$$ равен 2 клеткам, т.е. 2, катет $$PL$$ равен 2 клеткам, т.е. 2. Тогда катет $$PL$$ прямоугольного треугольника $$DLK$$ равен 2.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $$DL$$ прямоугольного треугольника $$DPL$$:

$$ DL = \sqrt{DP^2 + PL^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. $$

Тогда найдем синус угла $$KDL$$:

$$ sin \angle KDL = \frac{PL}{DL} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.707 $$

Найдем синус угла $$KDL$$ через тангенс:

$$ tg \angle KDL = \frac{PL}{DK} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $$ $$ sin \alpha = \frac{tg \alpha}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}} = \frac{0.5}{\sqrt{1 + 0.5^2}} = \frac{0.5}{\sqrt{1 + 0.25}} = \frac{0.5}{\sqrt{1.25}} = \frac{0.5}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{0.5 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0.447 $$

Синус угла $$KDL$$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$$ \sin \angle KDL = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$

Ответ:

$$ \sin \angle KDL = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0.447 $$

Или

$$ \frac{1}{\sqrt{5}} $$

Или

$$ 0.447 $$

Ответ: 0,447