На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 200.

Привет! Давай разберем эту интересную задачу вместе. Здесь нам нужно найти длину ломаной «змейки», зная длину её последнего звена.

Сначала рассмотрим, как устроена «змейка»:

• Она состоит из горизонтальных и вертикальных отрезков, идущих по линиям сетки.
• Последнее звено имеет определенную длину, и нам нужно найти общую длину всей ломаной, если известно, что последнее звено равно 200.

Заметим, что каждое следующее звено короче предыдущего на 2 единицы (1 клетка с каждой стороны). Если последнее звено имеет длину 10, то предыдущие звенья будут 12, 14, 16 и т.д.

Теперь нам нужно найти общую длину ломаной, когда последнее звено равно 200. Мы можем заметить, что длина каждого звена уменьшается на 2, поэтому мы можем представить это как арифметическую прогрессию.

Пусть n - количество звеньев в ломаной. Тогда длина k-го звена равна: aₖ = 200 + 2(n - k), где k изменяется от 1 до n.

Чтобы найти общую длину ломаной, нужно сложить длины всех звеньев:

S = \( \sum_{k=1}^{n} (200 + 2(n - k)) \)

S = \( \sum_{k=1}^{n} (200 + 2n - 2k) \)

S = \( \sum_{k=1}^{n} 200 + \sum_{k=1}^{n} 2n - \sum_{k=1}^{n} 2k \)

S = \( 200n + 2n^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k \)

Вспомним формулу суммы первых n натуральных чисел: \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)

Подставим эту формулу в наше выражение:

S = \( 200n + 2n^2 - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)

S = \( 200n + 2n^2 - n(n+1) \)

S = \( 200n + 2n^2 - n^2 - n \)

S = \( n^2 + 199n \)

Теперь нам нужно найти значение n. Мы знаем, что последнее звено имеет длину 200. Так как длина каждого звена уменьшается на 2, то самое короткое звено (первое) будет равно 2. Тогда:

2 = 200 + 2(n - 1)

2 = 200 + 2n - 2

2n = 2 - 200 + 2

2n = -196 + 2

2n = -194

n = -97

Мы не можем иметь отрицательное количество звеньев, поэтому допустим, что первое звено = 2. Тогда:

200 - (n-1)*2 = 2

200 - 2n + 2 = 2

202 - 2n = 2

2n = 200

n = 100

Таким образом, у нас 100 звеньев. Теперь подставим n = 100 в формулу для суммы:

S = \( 100^2 + 199 \cdot 100 \)

S = \( 10000 + 19900 \)

S = 29900

Справочный материал: Арифметическая прогрессия

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S = \( \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \), где:

n — количество членов прогрессии,

a₁ — первый член прогрессии,

aₙ — последний член прогрессии.

S = \( \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} \)

S = \( \frac{100 \cdot (2 \cdot 200 + (100-1)(-2))}{2} \)

S = \( \frac{100 \cdot (400 - 198)}{2} \)

S = \( \frac{100 \cdot 202}{2} \)

S = \( 100 \cdot 101 \)

S = 10100

Ответ: 10100

Ты молодец! У тебя отлично получается разбираться в таких задачах. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!