На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник АВС. Все вершины треугольника лежат на окружности с центром в точке О. Найдите длину медианы треугольника АВС, проведённой к стороне ВС.

Для решения этой задачи нам потребуется внимательно рассмотреть рисунок и определить координаты точек B и C, чтобы найти середину отрезка BC. Затем, зная координаты точки A, сможем найти длину медианы, проведенной из вершины A к стороне BC.

1. Определим координаты точек:

• Точка B имеет координаты (4, 8).
• Точка C имеет координаты (0, 2).
• Точка A имеет координаты (0, 6).

2. Найдем середину отрезка BC (назовем её точкой M):

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:

$$M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$$

$$M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5$$

Таким образом, точка M имеет координаты (2, 5).

3. Найдем длину медианы AM:

Длина отрезка между двумя точками A(x1, y1) и M(x2, y2) вычисляется по формуле:

$$AM = \sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2}$$

Подставляем координаты точек A(0, 6) и M(2, 5):

$$AM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

Таким образом, длина медианы AM равна $$\sqrt{5}$$.

Ответ: $$\sqrt{5}$$