14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке 114 изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 96.

Заметим, что каждое звено змейки увеличивается на 2 по сравнению с предыдущим. Если последнее звено имеет длину 10, то полная длина змейки равна сумме арифметической прогрессии с первым членом 2, разностью 2 и последним членом 10. Сумма арифметической прогрессии находится по формуле: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$, где $$n$$ - количество членов, $$a_1$$ - первый член, $$a_n$$ - последний член. Чтобы найти $$n$$, используем формулу для $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$d$$ - разность. В нашем случае: $$10 = 2 + (n-1)2$$. $$10 = 2 + 2n - 2$$ $$10 = 2n$$ $$n = 5$$ Итак, длина змейки с последним звеном 10 равна: $$S_5 = \frac{5(2 + 10)}{2} = \frac{5 cdot 12}{2} = 30$$. Теперь рассмотрим случай, когда последнее звено имеет длину 96. Снова используем формулу для $$n$$-го члена: $$96 = 2 + (n-1)2$$. $$96 = 2 + 2n - 2$$ $$96 = 2n$$ $$n = 48$$ Тогда длина змейки с последним звеном 96 равна: $$S_{48} = \frac{48(2 + 96)}{2} = \frac{48 cdot 98}{2} = 24 cdot 98 = 2352$$. Ответ: 2352