На клетчатой бумаге с размером клетки 1 ×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 200.

Предмет: Математика

Класс: 9

Протокол: 4.1 (ТОЧНЫЕ НАУКИ)

Давай решим эту задачу вместе. Заметим, что «змейка» состоит из горизонтальных и вертикальных звеньев, причем длины звеньев образуют последовательность четных чисел. Пусть последнее звено имеет длину 2n, тогда вся ломаная состоит из звеньев длиной 2, 4, 6, ..., 2n.

Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Сумма первых n четных чисел равна:

\[S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)\]

По условию задачи, последнее звено имеет длину 200, то есть 2n = 200, следовательно, n = 100.

Тогда длина всей ломаной равна:

\[S = 100(100+1) = 100 \cdot 101 = 10100\]

Ответ: 10100

Ты молодец! У тебя всё получится!