На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен угол. Найдите квадрат синуса этого угла.

Чтобы найти квадрат синуса угла, изображенного на клетчатой бумаге, нужно сначала определить координаты вершин угла и затем использовать их для вычисления синуса угла.

Определим координаты вершин угла. Пусть вершина угла O имеет координаты (0, 0). Тогда вершина A имеет координаты (-2, 4), а вершина B имеет координаты (4, -2).

Теперь найдем векторы OA и OB:

• Вектор OA = (-2 - 0, 4 - 0) = (-2, 4)
• Вектор OB = (4 - 0, -2 - 0) = (4, -2)

Найдем длины векторов OA и OB:

• $$|OA| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
• $$|OB| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Теперь найдем косинус угла между векторами OA и OB, используя формулу скалярного произведения:

$$OA \cdot OB = |OA| \cdot |OB| \cdot \cos(\angle AOB)$$.

Скалярное произведение OA и OB равно:

$$OA \cdot OB = (-2)(4) + (4)(-2) = -8 - 8 = -16$$

Подставляем значения в формулу:

$$-16 = 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \cos(\angle AOB)$$

$$-16 = 20 \cdot \cos(\angle AOB)$$

$$\cos(\angle AOB) = \frac{-16}{20} = -\frac{4}{5}$$

Теперь найдем синус угла, используя основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

$$\sin^2(\angle AOB) = 1 - \cos^2(\angle AOB) = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$$

Таким образом, квадрат синуса угла равен $$\frac{9}{25}$$.

Ответ: 9/25