На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы угла А треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на клетчатой бумаге. Биссектриса угла A делит этот угол на два равных угла и соединяет вершину A с точкой на противоположной стороне (BC). Чтобы найти длину биссектрисы, необходимо определить координаты точки, в которой биссектриса пересекает сторону BC.

Координаты вершин треугольника: $$A(0;2)$$ $$B(2;4)$$ $$C(4;0)$$ Уравнение прямой BC, проходящей через точки B и C: $$\frac{x - x_B}{x_C - x_B} = \frac{y - y_B}{y_C - y_B}$$ $$\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 4}{0 - 4}$$ $$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{-4}$$ $$-4(x - 2) = 2(y - 4)$$ $$-4x + 8 = 2y - 8$$ $$2y = -4x + 16$$ $$y = -2x + 8$$ По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. $$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ $$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ Отношение сторон: $$\frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$$ Пусть D - точка пересечения биссектрисы и стороны BC. Тогда $$BD:DC = \sqrt{2}:\[/math]\sqrt{5}$$. Координаты точки D: $$x_D = \frac{x_B \cdot AC + x_C \cdot AB}{AB + AC} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{5} + 4 \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} + 8\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$$ $$y_D = \frac{y_B \cdot AC + y_C \cdot AB}{AB + AC} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{5} + 0 \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$$ Приблизительные значения координат точки D: $$x_D \approx \frac{2 \cdot 2.236 + 4 \cdot 1.414}{1.414 + 2.236} \approx \frac{4.472 + 5.656}{3.65} \approx \frac{10.128}{3.65} \approx 2.775$$ $$y_D \approx \frac{4 \cdot 2.236}{1.414 + 2.236} \approx \frac{8.944}{3.65} \approx 2.45$$ Длина биссектрисы AD: $$AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(2.775 - 0)^2 + (2.45 - 2)^2} = \sqrt{(2.775)^2 + (0.45)^2} = \sqrt{7.700625 + 0.2025} = \sqrt{7.903125} \approx 2.81$$

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC.
AB = 2√2, AC = 2√5, BC = √( (4-2)^2 + (0-4)^2) = √(4+16) = √20 = 2√5
cos A = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)
cos A = (8 + 20 - 20) / (2 * 2√2 * 2√5) = 8 / (8√10) = 1/√10
Длина биссектрисы l = (2 * AB * AC * cos(A/2)) / (AB + AC)
l = (2 * 2√2 * 2√5 * cos(A/2)) / (2√2 + 2√5)
l = (4√10 * cos(A/2)) / (√2 + √5)
Из cos A = 1/√10, найдем cos(A/2)
cos(A) = 2 cos^2(A/2) - 1
1/√10 = 2 cos^2(A/2) - 1
cos^2(A/2) = (1 + 1/√10) / 2 = (√10 + 1) / (2√10)
cos(A/2) = √((√10 + 1) / (2√10))
l = (4√10 * √((√10 + 1) / (2√10))) / (√2 + √5) = 2.828

AD = 2.83

Длина биссектрисы, проведенной из вершины A, примерно равна длине стороны квадрата, диагональю которого является отрезок из трех клеток. Поэтому, можно предположить, что длина биссектрисы AD примерно равна 3.

По теореме косинусов: Пусть длина биссектрисы равна d, тогда справедливо следующее равенство: d = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\frac{A}{2})}{AB+AC} \approx 2.8

Длина отрезка AD приблизительно равна 3 клеткам.

Ответ: 3