На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке 105 изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 111.

Заметим, что каждое звено увеличивается на 2 клетки. Значит, длина ломаной равна сумме арифметической прогрессии, где первый член равен 2, а разность равна 2. Если последнее звено имеет длину 10, то номера звеньев: 2, 4, 6, 8, 10. Тогда длина ломаной равна 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30. Если последнее звено имеет длину 111, то нужно определить количество звеньев. Длина каждого звена имеет вид $$2n$$, где $$n$$ - номер звена. Значит, $$2n = 111$$. Так как звенья состоят из четного числа, то логика построения в условии нарушена, поскольку 111 нечетное. Задача, видимо, должна быть сформулирована немного иначе. Предположим, что условие сформулировано так, что длина последнего звена - число четное и последнее звено - 110. Тогда 2n = 110, n=55. Теперь нужно вычислить сумму 2+4+...+110. Это можно сделать с помощью формулы суммы арифметической прогрессии. Сумма арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$, где $$n$$ - количество членов, $$a_1$$ - первый член, $$a_n$$ - последний член. $$S_{55} = \frac{55(2+110)}{2} = \frac{55 * 112}{2} = 55 * 56 = 3080$$ Ответ: 3080