На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение:

На клетчатой бумаге изображён равносторонний треугольник. Сторона треугольника, построенного на клетках, имеет длину:

\( a = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)

Возьмём вершины треугольника A(0,0), C(4,0), B(2, 3.46).

\( AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4 \)

\( AB = \sqrt{(2-0)^2 + (3.46-0)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)

\( BC = \sqrt{(4-2)^2 + (0-3.46)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)

Таким образом, сторона треугольника равна 4.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

где \( a \) — длина стороны треугольника.

Подставим значение стороны \( a = 4 \):

\[ R = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Для удобства запишем результат с рациональным знаменателем:

\[ R = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \]

Приблизительное значение радиуса:

\[ R \approx \frac{4 \cdot 1.732}{3} \approx \frac{6.928}{3} \approx 2.31 \]

Ответ: \( \frac{4 \sqrt{3}}{3} \).