На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вершины А.

1. Определим координаты вершин треугольника АВС из сетки: А(0,0), В(2,4), С(5,0).

2. Найдем длины сторон треугольника: AB = sqrt((2-0)^2 + (4-0)^2) = sqrt(4+16) = sqrt(20) = 2*sqrt(5). AC = sqrt((5-0)^2 + (0-0)^2) = 5. BC = sqrt((5-2)^2 + (0-4)^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5.

3. Используем формулу длины биссектрисы: l_a = (2*sqrt(bc*(b+c+a)*(b+c-a)))/(b+c). В данном случае b=AC=5, c=AB=2*sqrt(5), a=BC=5. l_a = (2*sqrt(5*2*sqrt(5)*(5+2*sqrt(5)+5)*(5+2*sqrt(5)-5)))/(5+2*sqrt(5)) = (2*sqrt(10*sqrt(5)*(10+2*sqrt(5))*(2*sqrt(5))))/(5+2*sqrt(5)) = (2*sqrt(100*5*(10+2*sqrt(5))))/(5+2*sqrt(5)) = (2*10*sqrt(5)*sqrt(10+2*sqrt(5)))/(5+2*sqrt(5)).

4. Упростим выражение: l_a = (20*sqrt(50+20*sqrt(5)))/(5+2*sqrt(5)). Приблизительное значение: l_a ≈ 4.3.