На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 140.

Решение:

Длина звеньев «змейки» увеличивается по определённому правилу. В задаче сказано, что последнее звено имеет длину 10. По рисунку видно, что звенья располагаются по спирали, и длина каждого последующего звена увеличивается на 2.

Длины звеньев образуют арифметическую прогрессию:

1. 1-е звено: 2
2. 2-е звено: 4
3. 3-е звено: 6
4. ...
5. n-е звено: 2n

В данном случае, последнее звено имеет длину 10. Это значит, что было 10/2 = 5 звеньев. Общая длина ломаной — это сумма длин всех звеньев.

Чтобы найти длину ломаной, у которой последнее звено имеет длину 140, нужно найти сумму первых 70 звеньев (так как 140 / 2 = 70).

Длина ломаной — это сумма арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{(a_1 + a_n) · n}{2} \)

Где \( a_1 \) — первый член прогрессии (длина первого звена), \( a_n \) — последний член прогрессии (длина последнего звена), \( n \) — количество звеньев.

В нашем случае:

• \( a_1 = 2 \)
• \( a_{70} = 140 \)
• \( n = 70 \)

\( S_{70} = \frac{(2 + 140) · 70}{2} = \frac{142 · 70}{2} = 142 · 35 = 4970 \)

Ответ: 4970