На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображены векторы АВ и CD. Найди градусную меру угла между ними.

Решение:

Для определения угла между векторами AB и CD, определим их координаты.

Вектор AB:

• Начальная точка A имеет координаты (1, 2).
• Конечная точка B имеет координаты (3, 4).
• Вектор AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2).

Вектор CD:

• Начальная точка D имеет координаты (-1, 2).
• Конечная точка C имеет координаты (7, 2).
• Вектор CD = (7 - (-1), 2 - 2) = (8, 0).

Для нахождения угла между векторами используем формулу:

\[ \cos(\alpha) = \frac{{\vec{{a}} \cdot \vec{{b}}}}{{ |\vec{{a}}| \cdot |\vec{{b}}|} } \]

Вычислим скалярное произведение векторов AB и CD:

\[ \vec{{AB}} \cdot \vec{{CD}} = (2 \cdot 8) + (2 \cdot 0) = 16 + 0 = 16 \]

Найдем длины векторов:

• \[ |\vec{{AB}}| = \sqrt{{2^2 + 2^2}} = \sqrt{{4 + 4}} = \sqrt{{8}} = 2\sqrt{{2}} \]
• \[ |\vec{{CD}}| = \sqrt{{8^2 + 0^2}} = \sqrt{{64}} = 8 \]

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\alpha) = \frac{{16}}{{ (2\sqrt{{2}}) \cdot 8 }} = \frac{{16}}{{ 16\sqrt{{2}} }} = \frac{{1}}{{\sqrt{{2}}}} = \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}} \]

Угол, косинус которого равен \[ \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}} \], равен 45°.

Ответ: 45°