На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён острый угол. Найдите синус этого угла.

1. Определим координаты вершин угла. Пусть одна вершина находится в начале координат (0,0). Другая вершина может быть в точке (3,1) и третья в точке (1,3).
2. Найдем длины сторон, образующих угол: $$a = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{10}$$, $$b = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{10}$$.
3. Найдем длину отрезка, соединяющего точки (3,1) и (1,3): $$c = \sqrt{(1-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}$$.
4. Используем теорему косинусов для нахождения косинуса угла: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \implies 8 = 10 + 10 - 2\sqrt{10}\sqrt{10} \cos(\alpha) \implies 8 = 20 - 20 \cos(\alpha) \implies 20 \cos(\alpha) = 12 \implies \cos(\alpha) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$.
5. Найдем синус угла: $$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$.