На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисован треугольник АВС. Найдите высоту, проведённую из вершины А к стороне ВС.

1. Определим координаты вершин треугольника: А(2, 1), В(1, 4), С(5, 3).

2. Найдем длину основания ВС. Расстояние между В(1, 4) и С(5, 3) равно $$\sqrt{(5-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$.

3. Найдем длину высоты из А к ВС. Площадь треугольника равна $$\frac{1}{2} \times основание \times высота$$. Также площадь можно найти по координатам вершин: $$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))| = \frac{1}{2} |(2(4-3) + 1(3-1) + 5(1-4))| = \frac{1}{2} |(2 + 2 - 15)| = \frac{1}{2} |-11| = 5.5$$.

4. Высота $$h = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 5.5}{\sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{17}} = \frac{11\sqrt{17}}{17}$$.