На клетчатой бумаге с размером клетки \( 1 \times 1 \) нарисован треугольник ABC. Найдите медиану AM треугольника ABC.

Решение:

Для нахождения медианы AM, сначала найдем координаты точек A, B, C. Предположим, что левый нижний угол сетки соответствует координатам (0,0).

Из рисунка видно:

• Точка A имеет координаты \( (1, 1) \).
• Точка B имеет координаты \( (0, 3) \).
• Точка C имеет координаты \( (3, 2) \).

Медиана AM соединяет вершину A с серединой противоположной стороны BC. Найдем координаты середины отрезка BC (точки M).

Координаты середины отрезка BC \( (x_M, y_M) \) вычисляются по формулам:

\( x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2} \)

\( y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2} \)

Итак, середина отрезка BC имеет координаты \( M (\frac{3}{2}, \frac{5}{2}) \).

Теперь найдем длину медианы AM, используя формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

\( AM = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (\frac{5}{2} - 1)^2} \)

\( AM = \sqrt{(\frac{3}{2} - \frac{2}{2})^2 + (\frac{5}{2} - \frac{2}{2})^2} \)

\( AM = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} \)

\( AM = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} \)

\( AM = \sqrt{\frac{10}{4}} \)

\( AM = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{4}} \)

\( AM = \frac{\sqrt{10}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{2} \).