На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины B.

Решение:

Для решения задачи нам нужно найти длину биссектрисы, проведённой из вершины B треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой длины биссектрисы.

Сначала определим длины сторон треугольника, используя координаты вершин на клетчатой бумаге:

Пусть вершина C находится в точке \( (0, 5) \), вершина A в точке \( (0, 0) \), и вершина B в точке \( (6, 2) \).

Длина стороны AC:

\[ AC = \sqrt{(0-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5 \]

Длина стороны AB:

\[ AB = \sqrt{(6-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Длина стороны BC:

\[ BC = \sqrt{(6-0)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Теперь воспользуемся формулой длины биссектрисы \( b_b \) из вершины B:

\[ b_b = \frac{2}{a+c} \sqrt{ac s(s-b)} \]

Где \( a = BC = 3\sqrt{5} \), \( c = AB = 2\sqrt{10} \), \( b = AC = 5 \).

Сначала найдём полупериметр \( s \):

\[ s = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 3\sqrt{5}}{2} \]

Теперь подставим значения в формулу биссектрисы:

\[ b_b = \frac{2}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{10}} \sqrt{(3\sqrt{5})(2\sqrt{10}) \u0000 s(s-5)} \]

Вычисление с использованием координат проще:

Пусть координаты вершин будут:

A = (0, 0)

C = (0, 4)

B = (5, 2)

Длина стороны AC:

\[ AC = 4 \]

Длина стороны AB:

\[ AB = \sqrt{(5-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

Длина стороны BC:

\[ BC = \sqrt{(5-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

Треугольник ABC является равнобедренным (AB = BC). Следовательно, биссектриса, проведённая из вершины B, является также медианой и высотой. Она будет перпендикулярна стороне AC и делить её пополам.

Середина стороны AC: M = (0, 2).

Длина биссектрисы BM:

\[ BM = \sqrt{(5-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 \]

Ответ: 5