На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены середины сторон квадрата ABCD. Найдите расстояние между серединами соседних сторон.

Пошаговое решение:

1. Пусть сторона квадрата равна \(a\). В данном случае, так как размер клетки 1x1, мы можем считать, что \(a=1\).
2. Диагональ квадрата \(d\) вычисляется по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).
3. В нашем случае \(d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}\).
4. Расстояние между серединами соседних сторон (обозначим его \(m\)) равно половине диагонали: \( m = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Если рассматривать каждую клетку как единицу измерения, то, соединив середины сторон квадрата, мы получим новый квадрат, повернутый на 45 градусов. Сторона этого нового квадрата будет равна расстоянию между серединами соседних сторон исходного квадрата.
6. Можно также рассмотреть треугольник, образованный двумя половинами смежных сторон и искомым расстоянием. Катеты этого треугольника равны \(a/2\). Тогда искомое расстояние \(m\) по теореме Пифагора: \( m = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
7. При \(a=1\), \( m = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
8. Если же задача подразумевает, что отмечены середины сторон квадрата, вписанного в сетку, и сам квадрат занимает, например, 2x2 клетки, то его сторона \(a=2\). Тогда \( m = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).
9. Однако, если исходить из того, что на клетчатой бумаге 1x1 отмечены середины сторон некоего квадрата, и показаны числа 0 и 1 на числовой прямой, где 1 единица соответствует 1 клетке, то сторона квадрата равна 2 клеткам (от 0 до 1, и еще 1 клетка до следующей середины).
10. В этом случае \(a=2\). Искомое расстояние \(m = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$