На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла ABC.

Решение:

Для определения градусной меры угла ABC, мы можем использовать координаты точек, представленных на клетчатой бумаге. Будем считать, что каждая клетка имеет размер 1x1.

Предположим, что точка C находится в начале координат (0,0). Тогда:

• Точка A находится на 2 единицы влево и 1 единицу вверх от C, следовательно, координаты A: (-2, 1).
• Точка B находится на 1 единицу вправо и 2 единицы вверх от C, следовательно, координаты B: (1, 2).
• Точка C: (0, 0).

Чтобы найти угол ABC, мы можем использовать векторы BA и BC.

Вектор $$\vec{BA}$$ = A - B = (-2 - 1, 1 - 2) = (-3, -1).

Вектор $$\vec{BC}$$ = C - B = (0 - 1, 0 - 2) = (-1, -2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$:

$$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3)(-1) + (-1)(-2) = 3 + 2 = 5$$.

Найдем длины векторов:

$$|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$.

$$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$.

Используем формулу для угла между векторами:

$$\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Угол, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, равен 45 градусам.

Альтернативный подход с использованием теоремы косинусов:

Найдем длины сторон треугольника ABC:

$$AB = |\vec{BA}| = \sqrt{10}$$.

$$BC = |\vec{BC}| = \sqrt{5}$$.

Найдем длину AC:

$$\vec{AC}$$ = C - A = (0 - (-2), 0 - 1) = (2, -1).

$$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$.

По теореме косинусов для угла ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$5 = 10 + 5 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$5 = 15 - 2 \cdot \sqrt{50} \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$5 = 15 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$5 = 15 - 10\sqrt{2} \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$10\sqrt{2} \cdot \cos(\angle ABC) = 15 - 5 = 10$$

$$\cos(\angle ABC) = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Следовательно, $$\angle ABC = 45^{\circ}$$.

Ответ: 45°.