14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Пусть $$L_n$$ - длина ломаной, у которой последнее звено имеет длину $$n$$. Заметим, что длина ломаной возрастает на $$n$$ при добавлении последнего звена. Поэтому, $$L_n = 2*(1 + 2 + ... + n) = n*(n+1)/2$$. В нашем случае ломаная состоит из звеньев, которые образуют последовательность $$2, 4, 6, ..., n$$, где $$n$$ - четное число. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев. При последнем звене длиной 10, звенья имеют длины 2, 4, 6, 8, 10. Длина ломаной $$L_{10} = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$$. Заметим, что $$L_n = n(n+2)/4$$, где n - длина последнего звена. Тогда $$L_{10} = 10 * 12 / 4 = 30$$. Для ломаной с последним звеном длиной 120, звенья имеют длины 2, 4, 6, ..., 120. Длина ломаной равна $$L_{120} = 2 + 4 + 6 + ... + 120 = \sum_{k=1}^{60} 2k = 2\sum_{k=1}^{60} k = 2 * (60 * 61 / 2) = 60 * 61 = 3660$$. Либо используя формулу $$L_n = n(n+2)/4 = 120*(120+2)/4 = 120*122/4 = 30*122 = 3660$$. Ответ: 3660