10) На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечен треугольник АВС с вершинами в узлах сетки. Найдите длину биссектрисы угла А этого треугольника.

1) Найдем длины сторон треугольника ABC.

$$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

$$AC = \sqrt{(10-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{10^2 + (-3)^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109}$$

$$BC = \sqrt{(10-4)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

2) Пусть AL - биссектриса угла A. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит сторону BC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{\sqrt{109}}$$

3) Пусть BL = 4x, тогда LC = \(\sqrt{109}\)x.

Так как BL + LC = BC, то 4x + \(\sqrt{109}\)x = \(3\sqrt{5}\)

$$x(4 + \sqrt{109}) = 3\sqrt{5}$$ $$x = \frac{3\sqrt{5}}{4 + \sqrt{109}}$$

$$BL = 4x = \frac{12\sqrt{5}}{4 + \sqrt{109}}$$

4) Найдем координаты точки L.

$$x_L = x_B + \frac{BL}{BC}(x_C - x_B) = 4 + \frac{\frac{12\sqrt{5}}{4 + \sqrt{109}}}{3\sqrt{5}}(10 - 4) = 4 + \frac{12\sqrt{5}}{3\sqrt{5}(4 + \sqrt{109})} \cdot 6 = 4 + \frac{4 \cdot 6}{4 + \sqrt{109}} = 4 + \frac{24}{4 + \sqrt{109}}$$ $$y_L = y_B + \frac{BL}{BC}(y_C - y_B) = 3 + \frac{\frac{12\sqrt{5}}{4 + \sqrt{109}}}{3\sqrt{5}}(0 - 3) = 3 + \frac{12\sqrt{5}}{3\sqrt{5}(4 + \sqrt{109})} \cdot (-3) = 3 + \frac{4 \cdot (-3)}{4 + \sqrt{109}} = 3 - \frac{12}{4 + \sqrt{109}}$$

$$x_L = 4 + \frac{24}{4 + \sqrt{109}} = \frac{4(4 + \sqrt{109}) + 24}{4 + \sqrt{109}} = \frac{16 + 4\sqrt{109} + 24}{4 + \sqrt{109}} = \frac{40 + 4\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}}$$ $$y_L = 3 - \frac{12}{4 + \sqrt{109}} = \frac{3(4 + \sqrt{109}) - 12}{4 + \sqrt{109}} = \frac{12 + 3\sqrt{109} - 12}{4 + \sqrt{109}} = \frac{3\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}}$$

5) Найдем длину биссектрисы AL.

$$AL = \sqrt{(x_L - x_A)^2 + (y_L - y_A)^2} = \sqrt{(\frac{40 + 4\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}} - 0)^2 + (\frac{3\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}} - 3)^2} = \sqrt{(\frac{40 + 4\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}})^2 + (\frac{3\sqrt{109} - 3(4 + \sqrt{109})}{4 + \sqrt{109}})^2} = \sqrt{(\frac{40 + 4\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}})^2 + (\frac{3\sqrt{109} - 12 - 3\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}})^2} = \sqrt{(\frac{40 + 4\sqrt{109}}{4 + \sqrt{109}})^2 + (\frac{-12}{4 + \sqrt{109}})^2} = \sqrt{\frac{(40 + 4\sqrt{109})^2 + 144}{(4 + \sqrt{109})^2}} = \sqrt{\frac{1600 + 320\sqrt{109} + 16 \cdot 109 + 144}{16 + 8\sqrt{109} + 109}} = \sqrt{\frac{1600 + 320\sqrt{109} + 1744 + 144}{125 + 8\sqrt{109}}} = \sqrt{\frac{3488 + 320\sqrt{109}}{125 + 8\sqrt{109}}} = \sqrt{\frac{32(109 + 109 + 10\sqrt{109})}{125 + 8\sqrt{109}}} $$

Приблизительное значение AL ≈ 3.4

Ответ: 3.4