На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вер- шины А. Ответ:

Решение:

• На клетчатой бумаге определим координаты точек A, B и C.
• По графику: A(1, 1), B(4, 4), C(6, 1).
• Биссектриса угла A делит угол пополам. Она также делит противоположную сторону BC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
• Применим теорему о биссектрисе. Пусть AD - биссектриса угла A, тогда BD/DC = AB/AC.
• Вычислим длины сторон AB и AC:
• AB = \( \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
• AC = \( \sqrt{(6-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \)
• Пусть точка D имеет координаты (x, y). Так как AD является биссектрисой, то она должна проходить через точку (4, 2). Тогда длина AD равна \( \sqrt{(4-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \)

Ответ: \(\sqrt{10}\)