1. На клетчатой бумаге с шагом сетки 1х1 даны три точки А, В и С. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС. 2. В треугольнике АВС дано: угол СВА = 42°, стороны АС И ВС равны. Определите величину внешнего угла при вершине С. Ответ укажите в градусах. 3. Прямые EF и LM параллельны. Секущая QR пересекает EF в точке Р, a LM в точке О. Угол LOQ равен 38°. Найдите угол FPO. Ответ дайте в градусах. 4. Отметьте верное утверждение 1. Сумма двух смежных углов всегда больше 180°. 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 60°. 5. На стороне АС треугольника АВС выбрана точка М. Из вершины М проведена биссектриса МК, также из вершины М проведена высота МР треугольника СВМ. Известно, что угол между МК и МР равен 90°, а длина отрезка СМ составляет 24. Найдите длину отрезка ВМ.

1. Длина перпендикуляра

Из рисунка видно, что длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС, равна 3 клеткам.

Ответ: 3

2. Величина внешнего угла при вершине С

В треугольнике ABC угол CBA = 42°, стороны AC и BC равны, значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, угол CAB равен углу CBA и равен 42°.

Найдем угол ACB: 180° - (42° + 42°) = 180° - 84° = 96°.

Внешний угол при вершине C равен 180° - угол ACB = 180° - 96° = 84°.

Ответ: 84°

3. Угол FPO

Прямые EF и LM параллельны, секущая QR пересекает EF в точке P, a LM в точке O. Угол LOQ равен 38°.

Угол LOQ и угол FPO являются соответственными углами при параллельных прямых EF и LM и секущей QR, поэтому они равны.

Следовательно, угол FPO равен 38°.

Ответ: 38°

4. Верное утверждение

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Сумма двух смежных углов всегда равна 180°, а не больше. (Неверно)
2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. (Верно)
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°, а не 60°. (Неверно)

Следовательно, верное утверждение – второе.

Ответ: 2

5. Длина отрезка BM

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка M. Из вершины M проведена биссектриса MK, также из вершины M проведена высота MP треугольника CBM. Угол между MK и MP равен 90°, длина отрезка CM составляет 24. Нужно найти длину отрезка BM.

Так как MK – биссектриса угла BMP, а MP – высота, то треугольник BMK равнобедренный, BM = MP.

Угол KMP = 90°, следовательно, угол KMC = 90°.

Так как MP – высота, то треугольник PMC прямоугольный. Угол PMC = 90°.

Следовательно, треугольники MPK и MКC равны по гипотенузе и острому углу.

Отсюда следует, что CM = MP = 24.

Так как BM = MP, то BM = 24.

Ответ: 24