На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см построена окружность. Найди градусную меру угла \(KQF\), если длина отрезка \(KF\) равна \(4\sqrt{3}\) см.

Решение:

• Радиус окружности равен 4 см, так как он состоит из 4 клеток, а сторона клетки равна 1 см.
• Длина хорды \(KF = 4\sqrt{3}\) см.
• Рассмотрим равнобедренный треугольник \(KOQ\) (\(KO = OQ = R\)), где \(R\) – радиус окружности.
• \(OQ = OK = R = 4\) см.
• Пусть угол \(KQF = \alpha\), тогда угол \(KOQ = \alpha\).
• Проведем высоту \(OH\) в треугольнике \(KOQ\). Она также является медианой и биссектрисой.
• \(KH = \frac{1}{2}KF = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KOH\):
• \(\cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{KH}{OK} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\frac{\alpha}{2} = 30^\circ\)
• \(\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\)

Ответ: 60