На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см построена окружность. Найди градусную меру угла STK, если длина отрезка SK равна 4√2 см.

1. Отрезок SK является хордой окружности. Длина хорды SK = 4√2 см. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см, это означает, что расстояние между точками S и K по горизонтали и вертикали равно 4 клеткам. Таким образом, SK = 4√2 см.
2. Угол STK является вписанным углом, опирающимся на дугу SK. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен углу SOK, где O - центр окружности. Треугольник SOK является равнобедренным (SO=OK=радиус).
3. Если предположить, что центр окружности находится в точке T, то SK будет диаметром. Тогда угол STK будет равен 90 градусов. Однако, из рисунка видно, что T не является центром окружности. Если T - точка на окружности, то угол STK вписанный. Хорда SK = 4√2. Если радиус окружности равен 4, то диаметр равен 8. Если SK = 4√2, то по теореме Пифагора, если бы угол STK был прямым, то SK^2 = ST^2 + TK^2. Если ST=TK=4, то SK^2 = 16+16=32, SK=√32=4√2. Это означает, что ST и TK являются радиусами, и угол STK равен 90 градусов.
4. Угол STK равен половине центрального угла SOK. Если ST и TK являются радиусами, то треугольник STK равнобедренный. Если SK = 4√2 и ST = TK = R, то по теореме косинусов: (4√2)^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 cos(∠STK). 32 = 2R^2(1 - cos(∠STK)).
5. Из рисунка видно, что ST и TK являются радиусами окружности, и их длина равна 4 см (по 4 клеткам). Таким образом, треугольник STK является равнобедренным с ST = TK = 4 см. Хорда SK = 4√2 см. По теореме Пифагора, ST^2 + TK^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32. SK^2 = (4√2)^2 = 32. Так как ST^2 + TK^2 = SK^2, то треугольник STK является прямоугольным с прямым углом в точке T. Следовательно, ∠STK = 90°.