На клетчатой бумаге со стороной квадратной клетки √2 изображена окружность с центром O, проходящая через точку А, и касательная MN к этой окружности. Найдите длину отрезка MN.

Обозначим сторону клетки за $$a$$, тогда $$a = \sqrt{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ \triangle OMN $$. Катет $$ ON $$ - это радиус окружности, который равен 3 клеткам. Катет $$ OM $$ состоит из 5 клеток. $$MN$$ - касательная к окружности, значит, $$ON \perp MN$$.

Выразим катеты $$OM$$ и $$ON$$ через сторону клетки $$ a = \sqrt{2}$$.

$$ON = 3a = 3\sqrt{2}$$,

$$OM = 5a = 5\sqrt{2}$$.

По теореме Пифагора:

$$MN = \sqrt{OM^2 - ON^2}$$.

Подставим известные значения:

$$MN = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{50-18} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$.

Отсюда длина отрезка MN равна 4 клеткам.

$$MN = 4a = 4\sqrt{2}$$.

Ответ: $$4\sqrt{2}$$