127 На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что пяте них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно чет знакомых среди собравшихся?

Пусть всего на конференцию собралось N учёных. Предположим, что пять из них знакомы ровно с тремя другими. Тогда степени этих пяти вершин в графе знакомств равны 3. Сумма степеней этих пяти вершин равна 5 * 3 = 15.

Остальные N - 5 учёных имеют четное число знакомых, то есть их степени четные. Сумма четных чисел тоже четная.

Общая сумма степеней всех вершин графа должна быть четной (по теореме о сумме степеней). Сумма степеней пяти учёных равна 15 (нечетное число). Чтобы общая сумма была четной, сумма степеней остальных учёных тоже должна быть нечетной. Но это невозможно, потому что сумма четных чисел всегда четна.

Таким образом, не может оказаться так, что пять учёных знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четное число знакомых среди собравшихся.

Ответ: Нет, не могло.